이 이론은 32개의 초전하(supercharge )를 가지며, 이는
N
=
1
{\displaystyle {\mathcal {N}}=1}
초대칭 에 해당한다. 그 초대칭은 리 초대수
o
s
p
(
1
|
32
)
{\displaystyle {\mathfrak {osp}}(1|32)}
에 의하여 주어진다. 그 가환 성분, 즉 R대칭군 은 리 대수
o
(
32
)
{\displaystyle {\mathfrak {o}}(32)}
이다. 11차원에서, 마요라나 스피너는 32개의 실수 성분을 갖는데, R대칭 은 이 위에 회전군으로 작용한다.
특히, 이 경우 그래비티노 초대칭 변환은
δ
ϵ
ψ
M
=
D
M
ϵ
−
1
12
⋅
4
!
F
N
P
Q
R
(
Γ
N
P
Q
R
M
−
8
δ
M
N
Γ
P
Q
R
)
ϵ
{\displaystyle \delta _{\epsilon }\psi _{M}=D_{M}\epsilon -{\frac {1}{12\cdot 4!}}F_{NPQR}(\Gamma ^{NPQR}{}_{M}-8\delta _{M}^{N}\Gamma ^{PQR})\epsilon }
의 꼴이다.[2] :411 [3] :(3.10) 여기서
D
μ
ϵ
=
∂
μ
+
ω
μ
{\displaystyle D_{\mu }\epsilon =\partial _{\mu }+\omega _{\mu }}
는 스핀 접속 을 포함하는, 스피너 공변 미분 이다.
δ
ϵ
=
0
{\displaystyle \delta _{\epsilon }=0}
은 일종의 킬링 스피너 방정식에 해당하며, 이 조건을 만족시키는 스피너장의 수는 초중력 배경이 보존하는 초대칭의 양이다.
11차원 초중력은 중력장
G
M
N
{\displaystyle G_{MN}}
과 마요라나 그래비티노
ψ
M
{\displaystyle \psi _{M}}
, 또 3차 미분형식 게이지장
C
M
N
P
{\displaystyle C_{MNP}}
를 포함한다. 이들은 다음과 같다.
이름
기호
푸앵카레 대칭 표현
게이지 대칭
중력장
G
M
N
{\displaystyle G_{MN}}
대칭 텐서
미분 동형
그래비티노
ψ
M
{\displaystyle \psi _{M}}
벡터-마요라나 스피너
국소 초대칭 변환
게이지장
C
M
N
P
{\displaystyle C_{MNP}}
3차 미분 형식
C
M
N
P
↦
C
M
N
P
+
d
[
M
B
N
P
]
{\displaystyle C_{MNP}\mapsto C_{MNP}+\mathrm {d} _{[M}B_{NP]}}
11차원 초중력의 작용은 다음과 같다.
L
=
+
1
2
κ
2
e
R
−
1
2
e
ψ
¯
M
Γ
M
N
P
D
N
[
1
2
(
ω
−
ω
¯
)
]
ψ
P
+
1
2
⋅
4
!
e
F
M
N
P
Q
2
+
2
κ
16
⋅
4
!
e
(
ψ
¯
M
Γ
M
N
P
Q
R
S
ψ
S
+
12
ψ
¯
N
Γ
P
Q
ψ
R
)
(
F
+
F
¯
)
N
P
Q
R
+
2
κ
4
!
⋅
4
!
⋅
3
!
ε
M
1
…
M
11
F
M
1
…
M
4
F
M
5
…
M
8
C
M
9
M
10
M
11
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\mathcal {L}}&=&+{\frac {1}{2\kappa ^{2}}}eR-{\frac {1}{2}}e{\overline {\psi }}_{M}\Gamma ^{MNP}D_{N}[{\frac {1}{2}}(\omega -{\overline {\omega }})]\psi _{P}\\&&+{\frac {1}{2\cdot 4!}}eF_{MNPQ}^{2}+{\frac {{\sqrt {2}}\kappa }{16\cdot 4!}}e({\overline {\psi }}_{M}\Gamma ^{MNPQRS}\psi _{S}+12{\overline {\psi }}^{N}\Gamma ^{PQ}\psi ^{R})(F+{\overline {F}})_{NPQR}\\&&+{\frac {{\sqrt {2}}\kappa }{4!\cdot 4!\cdot 3!}}\varepsilon ^{M_{1}\dots M_{11}}F_{M_{1}\dots M_{4}}F_{M_{5}\dots M_{8}}C_{M_{9}M_{10}M_{11}}\end{array}}}
여기서
M
,
N
,
…
{\displaystyle M,N,\dotsc }
는 11차원 굽은 공간 지표이다.
A
,
B
,
…
{\displaystyle A,B,\dotsc }
는 필바인 (11차원 민코프스키 공간 ) 지표이다.
R
{\displaystyle R}
는 리치 스칼라 이다.
e
M
A
{\displaystyle e_{M}^{A}}
은 필바인이며,
η
A
B
e
M
A
e
N
B
=
G
M
N
{\displaystyle \eta _{AB}e_{M}^{A}e_{N}^{B}=G_{MN}}
이 11차원 계량 텐서 이다.
e
=
|
det
(
e
M
A
)
|
=
|
det
g
M
N
|
{\displaystyle e=|\det(e_{M}^{A})|={\sqrt {|\det g_{MN}|}}}
은 부피 형식 이다.
ω
{\displaystyle \omega }
는 필바인으로 정의되는 스핀 접속 이다.
F
M
N
P
Q
=
∂
[
M
C
N
P
Q
]
{\displaystyle F_{MNPQ}=\partial _{[M}C_{NPQ]}}
는
C
{\displaystyle C}
의 4차 미분 형식 장세기이다.
ϵ
M
1
…
M
11
{\displaystyle \epsilon ^{M_{1}\dotsc M_{11}}}
은 (천-사이먼스 꼴 의 항을 적기 위한) 11차원 레비치비타 기호 이다.
κ
=
8
π
G
{\displaystyle \kappa =8\pi G}
는 중력 상수 의 8π배이다.
다음과 같은 슈발레-에일렌베르크 대수 를 갖는,
N
⊕
Z
/
2
{\displaystyle \mathbb {N} \oplus \mathbb {Z} /2}
등급의 (즉, 초벡터 공간 범주에서 정의된) L∞-대수 를 생각하자.[4] :(3.2)
이름
기호
N
⊕
Z
/
2
{\displaystyle \mathbb {N} \oplus \mathbb {Z} /2}
등급
미분
필바인
e
a
{\displaystyle e^{a}}
(1,+)
d
e
a
=
ω
a
b
∧
e
b
+
1
2
i
ψ
¯
γ
a
ψ
{\displaystyle \mathrm {d} e^{a}=\omega ^{a}{}_{b}\wedge e^{b}+{\tfrac {1}{2}}\mathrm {i} {\bar {\psi }}\gamma ^{a}\psi }
스핀 접속
ω
a
b
{\displaystyle \omega ^{ab}}
(1,+)
d
ω
a
c
=
ω
a
b
∧
ω
b
c
{\displaystyle \mathrm {d} \omega ^{a}{}_{c}=\omega ^{a}{}_{b}\wedge \omega ^{b}{}_{c}}
그래비티노
ψ
{\displaystyle \psi }
(1,−)
1
4
ω
a
b
γ
a
b
ψ
{\displaystyle {\tfrac {1}{4}}\omega ^{a}{}_{b}\gamma _{a}{}^{b}\psi }
3차 미분 형식 (전기) 게이지 장
C
3
{\displaystyle C_{3}}
(3,+)
1
2
ψ
¯
γ
a
b
∧
ψ
∧
e
a
∧
e
b
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\bar {\psi }}\gamma _{ab}\wedge \psi \wedge e^{a}\wedge e^{b}}
6차 미분 형식 (자기) 게이지 장
C
6
{\displaystyle C_{6}}
(6,+)
d
C
6
=
−
1
2
ψ
¯
∧
γ
a
1
…
a
5
∧
e
a
1
∧
⋯
∧
e
a
5
−
13
2
ψ
¯
γ
a
b
∧
e
a
∧
e
b
∧
C
3
{\displaystyle \mathrm {d} C_{6}=-{\tfrac {1}{2}}{\bar {\psi }}\wedge \gamma _{a_{1}\dotso a_{5}}\wedge e^{a_{1}}\wedge \dotsb \wedge e^{a_{5}}-{\tfrac {13}{2}}{\bar {\psi }}\gamma _{ab}\wedge e^{a}\wedge e^{b}\wedge C_{3}}
이 L∞-대수
s
u
g
r
a
{\displaystyle {\mathfrak {sugra}}}
를 초중력 L∞-대수 라고 한다. 이 가운데,
ψ
{\displaystyle \psi }
와
C
3
{\displaystyle C_{3}}
,
C
6
{\displaystyle C_{6}}
를 생략하면, 푸앵카레 리 대수
i
o
(
10
,
1
)
{\displaystyle {\mathfrak {io}}(10,1)}
을 얻는다.
이제, 그 베유 대수(영어 : Weil algebra )
W
(
s
u
g
r
a
)
=
⋁
(
g
∗
⊕
g
[
1
]
)
{\displaystyle \operatorname {W} ({\mathfrak {sugra}})=\bigvee ({\mathfrak {g}}^{*}\oplus {\mathfrak {g}}[1])}
를 정의할 수 있다. 이는
N
⊕
Z
/
2
{\displaystyle \mathbb {N} \oplus \mathbb {Z} /2}
-등급 미분 등급 대수 이다.
시공간이 매끄러운 다양체
M
{\displaystyle M}
이라고 할 때, 그 위의 초중력 장들은 다음과 같다.
W
(
s
u
g
r
a
)
→
Ω
(
M
)
{\displaystyle \operatorname {W} ({\mathfrak {sugra}})\to \Omega (M)}
이제, 베유 대수에서 다음과 같은 장세기들을 정의할 수 있다.
d
W
e
a
{\displaystyle \mathrm {d} _{\mathrm {W} }e^{a}}
(비틀림 텐서 )
d
W
C
3
{\displaystyle \mathrm {d} _{\mathrm {W} }C_{3}}
d
W
C
6
+
15
(
d
W
C
3
)
∧
C
3
{\displaystyle \mathrm {d} _{\mathrm {W} }C_{6}+15(\mathrm {d} _{\mathrm {W} }C_{3})\wedge C_{3}}
d
W
ψ
{\displaystyle \mathrm {d} _{\mathrm {W} }\psi }
d
W
ω
a
b
{\displaystyle \mathrm {d} _{\mathrm {W} }\omega ^{ab}}
(리치 곡률 텐서 의 일반화)
11차원 초중력의 (고전적) 장방정식들이 만족시켜질 필요 충분 조건 은
이 대상들이
e
a
{\displaystyle e^{a}}
와
ψ
{\displaystyle \psi }
로 생성되는 아이디얼 에 속하며,
ψ
{\displaystyle \psi }
를 포함하는 항들의 (미분 형식 ) 계수는
e
{\displaystyle e}
만을 포함하는 항의 계수의 (쐐기곱 에 대한) 다항식 이어야 한다.
즉, 예를 들어,
C
3
{\displaystyle C_{3}}
의 경우, 다음과 같은 4차 미분 형식
G
4
∈
Ω
4
(
M
;
R
)
{\displaystyle G_{4}\in \Omega ^{4}(M;\mathbb {R} )}
이 존재하여야 한다.
d
W
C
3
=
(
G
4
)
a
b
c
d
e
a
∧
e
b
∧
e
c
∧
e
d
{\displaystyle \mathrm {d} _{\mathrm {W} }C_{3}=(G_{4})_{abcd}e^{a}\wedge e^{b}\wedge e^{c}\wedge e^{d}}
이러한 꼴의 조건을 리오노미 (영어 : rheonomy )라고 한다.
11차원 초중력을 낮은 차원으로 차원 축소를 가하면, 다음과 같은 이론들을 얻는다.
차원
이론
11
11차원 초중력
10
ⅡA형 (
N
=
(
1
,
1
)
{\displaystyle {\mathcal {N}}=(1,1)}
) 초중력
9
N
=
2
{\displaystyle {\mathcal {N}}=2}
초중력
8
N
=
2
{\displaystyle {\mathcal {N}}=2}
초중력
7
N
=
2
{\displaystyle {\mathcal {N}}=2}
초중력
6
N
=
(
2
,
2
)
{\displaystyle {\mathcal {N}}=(2,2)}
초중력
5
N
=
4
{\displaystyle {\mathcal {N}}=4}
초중력
4
N
=
8
{\displaystyle {\mathcal {N}}=8}
초중력
11차원 초중력을
R
10
,
1
=
R
3
,
1
×
R
7
{\displaystyle \mathbb {R} ^{10,1}=\mathbb {R} ^{3,1}\times \mathbb {R} ^{7}}
z
M
=
(
x
μ
,
y
m
)
{\displaystyle z^{M}=(x^{\mu },y^{m})}
위에 정의하자 (차원 축소 ). 그렇다면, 초중력의 보손 장 (계량 텐서
G
{\displaystyle G}
와 게이지 장
C
{\displaystyle C}
)은 다음과 같이 분해된다.
G
M
N
=
(
G
μ
ν
G
m
μ
G
m
μ
G
m
n
)
{\displaystyle G_{MN}={\begin{pmatrix}G_{\mu \nu }&G_{m\mu }\\G_{m\mu }&G_{mn}\end{pmatrix}}}
A
M
N
P
=
(
A
m
n
p
,
A
μ
m
n
,
A
μ
ν
m
,
A
μ
ν
ρ
)
{\displaystyle A_{MNP}=\left(A_{mnp},A_{\mu mn},A_{\mu \nu m},A_{\mu \nu \rho }\right)}
이들의 성분의 수는 각각 다음과 같다.
(10,1)차원
(3,1)+7차원
(3,1)차원 (유사)스칼라장의 수
(3,1)차원 벡터장의 수
(3,1)차원 텐서장의 수
G
M
N
{\displaystyle G_{MN}}
G
μ
ν
{\displaystyle G_{\mu \nu }}
—
—
1
G
μ
m
{\displaystyle G_{\mu m}}
—
7
—
G
m
n
{\displaystyle G_{mn}}
28
—
—
C
M
N
P
{\displaystyle C_{MNP}}
C
μ
ν
ρ
{\displaystyle C_{\mu \nu \rho }}
—
—
—
C
m
μ
ν
{\displaystyle C_{m\mu \nu }}
7
—
—
C
m
n
μ
{\displaystyle C_{mn\mu }}
—
21
—
C
m
n
p
{\displaystyle C_{mnp}}
35
—
—
계
70
28
1
이제, 위 장들 가운데, 38+35개의 스칼라장
(
G
m
n
,
C
m
n
p
)
{\displaystyle (G_{mn},C_{mnp})}
및
∂
μ
ϕ
m
=
ϵ
μ
ν
ρ
σ
∂
ν
C
ρ
σ
m
{\displaystyle \partial _{\mu }\phi _{m}=\epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }\partial _{\nu }C_{\rho \sigma m}}
에 의하여 정의되는 7개의 스칼라장
ϕ
m
{\displaystyle \phi _{m}}
을 생각하자. 이들은 총 70개의 스칼라장을 이루며, 이는 사실 동차 공간
E
7
(
7
)
/
SU
(
8
)
{\displaystyle \operatorname {E} _{7(7)}/\operatorname {SU} (8)}
의 좌표를 이룬다.[5] 여기서
E
7
(
7
)
{\displaystyle \operatorname {E} _{7(7)}}
은 리 군 E₇ 의 분할 형태이며, SU(8)은 특수 유니터리 군 이다.
28개의 스칼라장
(
G
m
,
n
)
1
≤
m
,
n
≤
7
{\displaystyle (G_{m,n})_{1\leq m,n\leq 7}}
과
C
m
n
μ
{\displaystyle C_{mn\mu }}
를 쌍대화하여 얻는 7개의 스칼라장
ϕ
m
{\displaystyle \phi _{m}}
을 생각하자.
이제, 다음과 같은 8×8 정사각 행렬 을 정의하자.[5] :(4.4)
S
=
Δ
−
3
/
4
(
Δ
G
m
n
−
ϕ
m
i
ϕ
n
ϕ
n
ϕ
m
−
1
)
(
i
,
j
∈
{
1
,
2
,
…
,
7
}
)
∈
SL
(
8
;
R
)
{\displaystyle S=\Delta ^{-3/4}{\begin{pmatrix}\Delta G^{mn}-\phi ^{m}i\phi ^{n}&\phi ^{n}\\\phi ^{m}&-1\end{pmatrix}}_{}\qquad (i,j\in \{1,2,\dotsc ,7\})\in \operatorname {SL} (8;\mathbb {R} )}
Δ
=
|
det
(
g
m
n
)
1
≤
m
,
n
≤
7
|
{\displaystyle \Delta =|\det(g_{mn})_{1\leq m,n\leq 7}|}
이는 동차 공간
SL
(
8
;
R
)
/
SO
(
8
;
R
)
{\displaystyle \operatorname {SL} (8;\mathbb {R} )/\operatorname {SO} (8;\mathbb {R} )}
의 원소로 간주된다. (이 동차 공간은
63
−
28
=
35
{\displaystyle 63-28=35}
차원이므로, 올바른 수의 성분을 갖는다.) 즉, 이는 게이지 변환
S
↦
M
S
M
−
1
(
M
∈
SO
(
8
;
R
)
)
{\displaystyle S\mapsto MSM^{-1}\qquad (M\in \operatorname {SO} (8;\mathbb {R} ))}
을 겪는다. 게이지 변환 가운데
SO
(
7
;
R
)
{\displaystyle \operatorname {SO} (7;\mathbb {R} )}
부분은 7개의 내부 차원의 회전군이다.
이 35개의 스칼라장 말고도, 35개의 유사스칼라
C
m
n
p
{\displaystyle C_{mnp}}
가 존재한다. 군론에서, 다음과 같은 가환 그림이 주어진다.
SL
(
8
;
R
)
→
E
7
(
7
)
↑
↑
SO
(
8
)
→
SU
(
8
)
{\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {SL} (8;\mathbb {R} )&\to &\operatorname {E} _{7(7)}\\\uparrow &&\uparrow \\\operatorname {SO} (8)&\to &\operatorname {SU} (8)\end{matrix}}}
SU
(
8
)
∩
SL
(
8
;
R
)
=
SO
(
8
)
{\displaystyle \operatorname {SU} (8)\cap \operatorname {SL} (8;\mathbb {R} )=\operatorname {SO} (8)}
이에 따라,
S
{\displaystyle S}
에 35개의 유사스칼라장 성분을 추가하여,
E
7
(
7
)
{\displaystyle \operatorname {E} _{7(7)}}
의 원소로 확장할 수 있다. 다만,
E
7
(
7
)
{\displaystyle \operatorname {E} _{7(7)}}
의 가장 작은 충실한 표현이 54차원이므로, 그 구체적 표기는 복잡하다.[5] :(4.24)
이 이론은 28개의 게이지 보손 을 갖는다. 우선, 스칼라장의
SL
(
8
;
R
)
/
SO
(
8
)
{\displaystyle \operatorname {SL} (8;\mathbb {R} )/\operatorname {SO} (8)}
대칭에 대하여, 이 보손들은
SL
(
8
;
R
)
{\displaystyle \operatorname {SL} (8;\mathbb {R} )}
및
SO
(
8
)
{\displaystyle \operatorname {SO} (8)}
의 28차원 표현으로 변환한다. (이 표현은 8×8 반대칭 행렬 로 구성된다.) 즉, 이는 8차원 실수 내적 공간 위의 쌍선형 형식 을 이룬다.
4차원에서는 2차 미분 형식 의 호지 쌍대 가 2차 미분 형식 이다. 이에 따라, 28개의 게이지 보손 장세기와 그 28개의 쌍대 장세기들을 생각하자. 이들은
E
7
(
7
)
{\displaystyle \operatorname {E} _{7(7)}}
의 56차원 실수 기본 표현 을 이룬다. 이는
E
7
(
7
)
{\displaystyle \operatorname {E} _{7(7)}}
의 부분군에 대하여 다음과 같이 분해된다.
28
R
⊕
28
R
→
56
R
↑
↑
28
R
⊕
28
R
→
28
C
SL
(
8
;
R
)
→
E
7
(
7
)
↑
↑
SO
(
8
)
→
SU
(
8
)
{\displaystyle {\begin{matrix}\mathbf {28} _{\mathbb {R} }\oplus \mathbf {28} _{\mathbb {R} }&\to &\mathbf {56} _{\mathbb {R} }\\\uparrow &&\uparrow \\\mathbf {28} _{\mathbb {R} }\oplus \mathbf {28} _{\mathbb {R} }&\to &\mathbf {28} _{\mathbb {C} }\end{matrix}}\qquad {\begin{matrix}\operatorname {SL} (8;\mathbb {R} )&\to &\operatorname {E} _{7(7)}\\\uparrow &&\uparrow \\\operatorname {SO} (8)&\to &\operatorname {SU} (8)\end{matrix}}}
여기서
SU
(
8
)
{\displaystyle \operatorname {SU} (8)}
의 표현은 8×8 복소수 반대칭 행렬 로 구성된다.
11차원 마요라나 스피너는 32개의 실수 성분을 가지며, 이는 4차원에서 4개의 디랙 스피너 를 이룬다. 11차원 마요라나 그래비티노는 10×32 =320개의 실수 성분을 갖는다.
4차원에서, 이는 28개의 디랙 스피너 및 8개의 마요라나 그래비티노(즉, 4개의 디랙 그래비티노)를 이룬다.
320
→
28
×
(
(
0
,
1
2
)
⊕
(
1
2
,
0
)
)
⊕
4
×
(
(
1
,
1
2
)
⊕
(
1
2
,
1
)
)
{\displaystyle \mathbf {320} \to 28\times \left((0,{\tfrac {1}{2}})\oplus ({\tfrac {1}{2}},0)\right)\oplus 4\times \left((1,{\tfrac {1}{2}})\oplus ({\tfrac {1}{2}},1)\right)}
320
=
28
×
8
+
4
×
24
{\displaystyle 320=28\times 8+4\times 24}
28개의 디랙 스피너는 게이지 군 SU(8) 의 복소수 28차원 (실수 56차원) 표현을 이룬다[5] :170, §6 (8×8 반대칭 행렬). 8개의 마요라나 그래비티노는 SU(8)의 8차원 복소수 표현을 이룬다.[5] :170, §6
페르미온들은 대역적 대칭
E
7
(
7
)
{\displaystyle \operatorname {E} _{7(7)}}
에 대하여 변환하지 않는다. 이는 일반 상대성 이론 에서 페르미온이 필바인 의 대칭
Spin
(
1
,
3
)
{\displaystyle \operatorname {Spin} (1,3)}
의 표현을 이루지만
GL
(
4
)
{\displaystyle \operatorname {GL} (4)}
의 표현을 이루지 않는 것과 마찬가지다.
11차원 초중력을
R
10
,
1
=
R
5
,
1
×
R
6
{\displaystyle \mathbb {R} ^{10,1}=\mathbb {R} ^{5,1}\times \mathbb {R} ^{6}}
z
M
=
(
x
μ
,
y
m
)
{\displaystyle z^{M}=(x^{\mu },y^{m})}
위에 정의하자 (차원 축소 ). 그렇다면, 초중력의 보손 장(계량 텐서
G
{\displaystyle G}
와 게이지 장
C
{\displaystyle C}
)은 다음과 같이 분해된다.
G
M
N
=
(
G
μ
ν
G
m
μ
G
m
μ
G
m
n
)
{\displaystyle G_{MN}={\begin{pmatrix}G_{\mu \nu }&G_{m\mu }\\G_{m\mu }&G_{mn}\end{pmatrix}}}
A
M
N
P
=
(
A
m
n
p
,
A
μ
m
n
,
A
μ
ν
m
,
A
μ
ν
ρ
)
{\displaystyle A_{MNP}=\left(A_{mnp},A_{\mu mn},A_{\mu \nu m},A_{\mu \nu \rho }\right)}
이들의 성분의 수는 각각 다음과 같다.
(10,1)차원
(4,1)+6차원
(4,1)차원 (유사)스칼라장의 수
(4,1)차원 벡터장의 수
(4,1)차원 대칭 텐서장의 수
G
M
N
{\displaystyle G_{MN}}
G
μ
ν
{\displaystyle G_{\mu \nu }}
—
—
1
G
μ
m
{\displaystyle G_{\mu m}}
—
6
—
G
m
n
{\displaystyle G_{mn}}
(
6
+
1
2
)
=
21
{\displaystyle \textstyle {\binom {6+1}{2}}=21}
—
—
C
M
N
P
{\displaystyle C_{MNP}}
C
μ
ν
ρ
{\displaystyle C_{\mu \nu \rho }}
1
—
—
C
m
μ
ν
{\displaystyle C_{m\mu \nu }}
—
6
—
C
m
n
μ
{\displaystyle C_{mn\mu }}
—
(
6
2
)
=
15
{\displaystyle \textstyle {\binom {6}{2}}=15}
—
C
m
n
p
{\displaystyle C_{mnp}}
(
6
3
)
=
20
{\displaystyle \textstyle {\binom {6}{3}}=20}
—
—
계
42
27
1
이제, 위 장들 가운데, 21+20개의 스칼라장
(
G
m
n
,
C
m
n
p
)
{\displaystyle (G_{mn},C_{mnp})}
및
∂
μ
ϕ
=
ϵ
μ
ν
ρ
σ
τ
∂
ν
C
ρ
σ
τ
{\displaystyle \partial _{\mu }\phi =\epsilon _{\mu }{}^{\nu \rho \sigma \tau }\partial _{\nu }C_{\rho \sigma \tau }}
에 의하여 정의되는 스칼라장
ϕ
{\displaystyle \phi }
를 생각하자. 이들은 총 42개의 스칼라장을 이루며, 이는 사실 동차 공간
E
6
(
6
)
/
USp
(
8
)
{\displaystyle \operatorname {E} _{6(6)}/\operatorname {USp} (8)}
의 좌표를 이룬다. 여기서
E
6
(
6
)
{\displaystyle \operatorname {E} _{6(6)}}
은 단순 리 군 E₆ 의 분할 형태이며, USp(8)은 콤팩트 심플렉틱 군 이다.
마찬가지로, 27개의 벡터장들은 E6 의 27차원 기본 표현을 이룬다.