덧셈 (현대 수학에서 더하기표 + 로 자주 표현된다.)은 산술 의 기본 연산 중의 하나로, 뺄셈 과 곱셈 , 나눗셈 과 함께 대표되는 사칙연산 이다. 두 개의 수를 받아서 두 수의 합 인 하나의 수를 내는 연산이다. 옆의 그림에서 위쪽의 3개의 사과와 아래쪽의 2개의 사과를 덧셈하면(더하면) 사과 5개가 된다. 이를 수학적으로 표현하면 3+2=5가 된다.(말로 표현할 때는 "삼 더하기 이는 오"라고 한다.)
덧셈을 설명할 때 자주쓰는 그림
덧셈은 보통 덧셈기호 +의 양 옆에 숫자를 넣는 중위 표기법 으로 표현한다. 그리고 그 결과를 등호기호 =의 오른쪽에 넣어서 표현한다.
1
+
1
=
2
{\displaystyle 1+1=2}
1
+
2
+
3
=
6
{\displaystyle 1+2+3=6}
관습적으로 대분수 의 경우 따로 덧셈기호가 없어도 앞의 수와 뒤의 분수가 더해진 수라고 생각한다.
3
1
2
=
3
+
1
2
{\displaystyle 3{\frac {1}{2}}=3+{\frac {1}{2}}}
두 자연수 의 덧셈은 자연수의 순서에 맞게 그 순서를 더한다.
3
+
4
=
{\displaystyle 3+4=}
=
7
{\displaystyle =7}
두 자리수 이상의 자연수의 덧셈은 각각의 자리수를 더해서 구할 수 있다.
145
+
231
=
100
+
200
+
40
+
30
+
5
+
1
=
300
+
70
+
6
=
376
{\displaystyle 145+231=100+200+40+30+5+1=300+70+6=376}
두 분수 의 덧셈은 분모가 같은 경우 분자끼리 더한다.
1
4
+
3
4
=
1
+
3
4
=
4
4
=
1
{\displaystyle {\frac {1}{4}}+{\frac {3}{4}}={\frac {1+3}{4}}={\frac {4}{4}}=1}
분모가 다른 경우 두 분모가 최소공배수 가 되는 값을 각각의 분수의 분모와 분자에 곱해서 더한다.
3
7
+
2
5
=
3
×
5
7
×
5
+
2
×
7
5
×
7
=
15
35
+
14
35
=
29
35
{\displaystyle {\frac {3}{7}}+{\frac {2}{5}}={\frac {3\times 5}{7\times 5}}+{\frac {2\times 7}{5\times 7}}={\frac {15}{35}}+{\frac {14}{35}}={\frac {29}{35}}}
두 자리 수 이상의 자연수를 더할 때, 같은 자리의 숫자끼리의 합이 10 이상이 되면 받아올림 이 필요하다. 예를 들어 27 + 59 를 계산할 때, 먼저 일의 자리 숫자끼리 계산하면 16이 되므로 6을 일의 자리 숫자에 적고, 1을 받아올린다. 그리고 십의 자리 숫자끼리 계산할 때 일의 자리에서 받아올린 수까지 함께 더하여 8이 되므로 8을 십의 자리 숫자에 적는다.
¹
27
+ 59
————
86
소수 의 덧셈은 다음과 같다. 소수점이 같은 위치에 오도록 적고, 한 수에만 빈 자리가 있으면 그 자리에 0을 적는다. 그 다음에는 자연수의 덧셈과 마찬가지로 같은 자리의 숫자까리 더하되 필요한 경우 받아올림을 한다. 소수점은 더한 수와 같은 위치에 찍는다. 예를 들어 45.1 + 4.34는 다음과 같이 계산한다.
4 5 . 1 0
+ 0 4 . 3 4
————————————
4 9 . 4 4
덧셈은 두 개의 원소를 받아 하나의 원소를 내는 이항연산 이다. 자연수 , 정수 , 유리수 , 실수 , 복소수 는 각기 다른 대수구조를 가지고 있기 때문에 수학적인 정의들이 각각이 다르다.
페아노 공리계에서 자연수 집합
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
1
∈
N
{\displaystyle 1\in \mathbb {N} }
∀
n
∈
N
,
∃
′
:
N
→
N
,
n
′
∈
N
{\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,\;\exists ':\mathbb {N} \to \mathbb {N} ,\;n'\in \mathbb {N} }
!
∃
n
∈
N
,
n
′
=
1
{\displaystyle !\exists n\in \mathbb {N} ,\;n'=1}
∀
m
∈
N
,
n
′
=
m
′
⇒
n
=
m
{\displaystyle \forall m\in \mathbb {N} ,\;n'=m'\Rightarrow n=m}
S
⊂
N
,
1
∈
S
,
s
∈
S
,
s
′
∈
S
⇒
S
=
N
{\displaystyle S\subset \mathbb {N} ,1\in S,s\in S,s'\in S\Rightarrow S=\mathbb {N} }
여기서 '는 계승자를 나타내는 사상으로 n'은 n의 다음 자연수를 의미한다. 자연수 집합에 0 을 추가한 집합
N
+
{\displaystyle \mathbb {N} ^{+}}
n
+
0
=
n
{\displaystyle n+0=n}
n
+
m
′
=
(
n
+
m
)
′
{\displaystyle n+m'=(n+m)'}
임의의 자연수는 0 또는 다른 자연수의 다음 자연수이므로, 임의의
n
∈
N
+
{\displaystyle n\in \mathbb {N} ^{+}}
수학적 귀납법 을 통해 증명할 수 있다.
두 정수 를 각각 자연수의 차
n
=
a
−
b
{\displaystyle n=a-b}
m
=
c
−
d
{\displaystyle m=c-d}
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
c
{\displaystyle c}
d
{\displaystyle d}
n
+
m
=
(
a
+
c
)
−
(
b
+
d
)
{\displaystyle n+m=(a+c)-(b+d)}
a
+
c
{\displaystyle a+c}
b
+
d
{\displaystyle b+d}
유리수 에서는 덧셈을 다음과 같이 정의한다. 두 유리수 를 정수의 비
a
b
{\displaystyle {\frac {a}{b}}}
c
d
{\displaystyle {\frac {c}{d}}}
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
c
{\displaystyle c}
d
{\displaystyle d}
b
{\displaystyle b}
d
{\displaystyle d}
a
b
+
c
d
=
a
d
+
b
c
b
d
{\displaystyle {\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}}}
분수는 유리수의 표기법이므로, 이 정의를 사용하여 분수의 덧셈을 할 수 있다. 예를 들어,
2
5
+
3
4
=
2
⋅
4
+
3
⋅
5
4
⋅
5
=
23
20
{\displaystyle {\frac {2}{5}}+{\frac {3}{4}}={\frac {2\cdot 4+3\cdot 5}{4\cdot 5}}={\frac {23}{20}}}
실수 를 유리수의 완비 거리 공간 으로 생각하였을 때, 각 실수는 유리수의 코시 열 의 극한값이다. 두 실수
r
=
lim
n
→
∞
a
n
{\displaystyle r=\lim _{n\to \infty }a_{n}}
s
=
lim
n
→
∞
b
n
{\displaystyle s=\lim _{n\to \infty }b_{n}}
{
a
n
}
,
{
b
n
}
{\displaystyle \{a_{n}\},\{b_{n}\}}
r
+
s
=
lim
n
→
∞
(
a
n
+
b
n
)
{\displaystyle r+s=\lim _{n\to \infty }(a_{n}+b_{n})}
복소수 의 덧셈은 실수부와 허수부를 각각 더한 결과로 정의한다. 두 복소수
z
=
a
+
b
i
{\displaystyle z=a+bi}
w
=
c
+
d
i
{\displaystyle w=c+di}
a
,
b
,
c
,
d
{\displaystyle a,b,c,d}
z
+
w
=
(
a
+
c
)
+
(
b
+
d
)
i
{\displaystyle z+w=(a+c)+(b+d)i}
a
+
c
,
b
+
d
{\displaystyle a+c,b+d}
덧셈에서는 교환법칙 이 성립한다. 이는 덧셈을 할 때 피연산자의 배치 순서를 바꾸어도 항상 같은 결과를 얻는다는 것을 의미한다. 즉, 모든
a
,
b
{\displaystyle a,b}
a
+
b
=
b
+
a
{\displaystyle a+b=b+a\,}
가 성립한다.
덧셈에서는 결합법칙 도 성립한다. 이는 세 피연산자에 대해 덧셈을 할 때 어떤 쌍을 처음 더한 후 다른 하나를 더할 때 항상 같은 결과를 얻는다는 것을 의미한다. 즉, 모든
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
c
{\displaystyle c}
a
+
(
b
+
c
)
=
(
a
+
b
)
+
c
{\displaystyle a+(b+c)=(a+b)+c\,}
가 성립한다. 결합법칙에 의해,
a
+
b
+
c
{\displaystyle a+b+c}
(
a
+
b
)
+
c
{\displaystyle (a+b)+c}
a
+
(
b
+
c
)
{\displaystyle a+(b+c)}
덧셈의 항등원 은 0이다. 즉, 모든
a
{\displaystyle a}
a
+
0
=
0
+
a
=
a
{\displaystyle a+0=0+a=a\,}
가 성립한다.
+
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
3
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
4
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
5
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
6
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
7
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
8
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
9
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
같은 수를 여러 번 더한 것을 곱셈이라고 한다.
이 부분의 본문은 받아올림입니다.
