피타고라스 체

체론에서, 피타고라스 체(Πυθαγόρας體, 영어: Pythagorean field)는 제곱수들의 합이 제곱수인 체이다.

정의

체 $K$의 원소 가운데 일부는 유한 개의 제곱수들의 합으로 나타낼 수 있고, 일부는 유한 개의 제곱수들의 합으로 나타낼 수 없다. $a\in K$를 제곱수들의 합으로 나타낼 때 필요한 최소 개의 제곱수의 수를 $P(a)$라고 쓰자.

$p(a)=\min _{A\subseteq K}^{\sum _{b\in A}b^{2}=b}|A|\in \mathbb {N} \cup \{\infty \}$

체 $K$의 피타고라스 수(Πυθαγόρας數, 영어: Pythagorean number) $p(K)$는 $K$의 원소에 대하여, 위 함수의 최댓값이다.

$p(K)=\max _{a\in K}p(a)\in \mathbb {N} \cup \{\infty \}$

즉, 피타고라스 수가 유한한 체 $K$에서, 모든 제곱수의 합은 $p(K)$개 이하의 제곱수들의 합으로 나타낼 수 있다.

피타고라스 수가 1인 체를 피타고라스 체(Πυθαγόρας體, 영어: Pythagorean field)라고 한다. 즉, 피타고라스 체는 제곱수들의 집합이 덧셈에 대하여 모노이드를 이루는 체이다. 즉, 다음 조건이 성립하면 $K$를 피타고라스 체라고 한다.

$\forall a,b\in K\exists c\in K\colon a^{2}+b^{2}=c^{2}$

기하학적으로, 이는 피타고라스의 정리와 유사하다. 즉, 만약 $K\subseteq \mathbb {R}$라면, 직각 삼각형에서 사이에 직각이 있는 두 변의 길이가 $K$에 속한다면, 나머지 변도 $K$에 속해야 한다.

체 $K$의 대수적 폐포 ${\bar {K}}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면 ${\bar {K}}$ 속에, $K$를 포함하는 최소의 피타고라스 체 $K^{\operatorname {py} }$가 존재한다. 이를 $K$의 피타고라스 폐포(Πυθαγόρας閉包, 영어: Pythagorean closure)라고 한다.

성질

임의의 체 $K$에 대하여, 피타고라스 수와 수준 $s(K)$ 사이에 다음과 같은 부등식이 성립한다.^:261

$p(K)\leq s(K)+1$

모든 양의 정수 $n$에 대하여, 피타고라스 수가 $n$인 형식적 실체가 존재한다.^:398

형식적 실체가 아닌 체의 경우, 피타고라스 수는 다음 세 가지 가운데 하나이다.^:396

• $\infty$
• $2^{n}\qquad n\in \mathbb {N}$
• $2^{n}-1\qquad n\in \mathbb {N}$

예

피타고라스 수의 예는 다음과 같다.

체	피타고라스 수
대수적으로 닫힌 체 ${\bar {K}}$	1
유한체 $\mathbb {F} _{q}$	2
유리수체 $\mathbb {Q}$	4 (라그랑주 네 제곱수 정리)

외부 링크

• “Pythagorean field”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Pythagorean field”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Pythagorean extension”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.