형식적 실체
체론에서 형식적 실체(形式的實體, 영어: formally real field)는 순서체로 만들 수 있는 체이다.
정의
편집체 의 수준(水準, 독일어: Stufe 슈투페[*]) 은 을 제곱수들의 합으로 나타내었을 때 필요한 항들의 수의 최솟값이다. 만약 을 제곱수들의 합으로 나타낼 수 없는 경우, 수준은 이다.
체 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 체를 형식적 실체(영어: formally real field)라고 한다.
성질
편집모든 체의 수준은 항상 무한대이거나 아니면 2의 거듭제곱이다.
만약 의 표수가 2라면, 그 수준은 항상 1이다.
만약 의 표수가 양수라면, 그 수준은 항상 1 또는 2이다.
만약 에서 모든 원소가 제곱근을 갖는다면, 의 수준은 항상 1이다.
지겔 정리(영어: Siegel’s theorem)에 따르면, 대수적 수체의 수준은 1, 2, 4, 또는 ∞이다.
의 준위는 피타고라스 수 와 다음과 같은 부등식을 만족시킨다.
형식적 실수가 아닌 체의 경우, 다음이 성립한다.
모든 형식적 실체는 (순서체로 만들 수 있으므로) 표수가 0이다. 모든 실폐체는 형식적 실체이다. 형식적 실폐 의 대수적 폐포 가 주어졌을 때, 를 포함하는 속의 유일한 실폐체 가 존재하며, 이를 의 실폐포(영어: real closure)라고 한다.
예
편집대표적인 체의 수준은 다음과 같다.
체 | 수준 |
---|---|
대수적으로 닫힌 체 | 1 |
실폐체 | ∞ |
유리수체 | ∞ |
유한체 , | 2 |
유한체 , | 1 |
비아르키메데스 국소체 , 이산 값매김환 의 잉여류체 의 표수가 홀수인 경우 | |
2진수체 | 4 |
가우스 유리수 | 1 |
이차 수체 | 2 |
이차 수체 | 4 |
참고 문헌
편집- Rajwade, A. R. (1993). 《Squares》. London Mathematical Society Lecture Note Series (영어) 171. Cambridge University Press. ISBN 0-521-42668-5. Zbl 0785.11022.
- Lam, Tsit-Yuen (2005). 《Introduction to quadratic forms over fields》. Graduate Studies in Mathematics (영어) 67. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1095-2. MR 2104929. Zbl 1068.11023.
- Prestel, A. (1984). 《Lectures on formally real fields》. Lecture Notes in Mathematics (영어) 1093. Springer. doi:10.1007/BFb0101548. ISBN 978-3-540-13885-3. ISSN 0075-8434.
외부 링크
편집- “Formally real field”. 《nLab》 (영어).
- “Formally real algebra”. 《nLab》 (영어).