아다마르 곱

선형대수학에서 아다마르 곱(영어: Hadamard product)은 같은 크기의 두 행렬의 각 성분을 곱하는 연산이다. 즉, 일반 행렬곱은 $m\times n$과 $n\times p$의 꼴의 두 행렬을 곱하지만, 아다마르 곱은 $m\times n$과 $m\times n$의 꼴의 두 행렬을 곱한다. 덧셈에 대하여 분배 법칙을 따른다. 기호는 $\bigcirc$.

정의

환 $R$의 성분을 갖는, 같은 크기 $m\times n$의 두 행렬

$M,N\in \operatorname {Mat} (m,n;R)$

$M={\begin{pmatrix}M_{11}&M_{12}&\dotsm &M_{1n}\\M_{21}&M_{22}&&M_{2n}\\\vdots &&\ddots &\vdots \\M_{m1}&M_{m2}&\dotsm &M_{mn}\end{pmatrix}}$

$N={\begin{pmatrix}N_{11}&N_{12}&\dotsb &N_{1n}\\N_{21}&N_{22}&&N_{2n}\\\vdots &&\ddots &\vdots \\N_{m1}&N_{m2}&\dotsm &N_{mn}\end{pmatrix}}$

이 주어졌다고 하자. 그렇다면, $M$과 $N$의 아다마르 곱은 다음과 같다.

$M\bigcirc N={\begin{pmatrix}M_{11}N_{11}&M_{12}N_{12}&\dotsm &M_{1n}N_{1n}\\M_{21}N_{21}&M_{22}N_{22}&&M_{2n}N_{2n}\\\vdots &&\ddots &\vdots \\M_{m1}N_{m1}&M_{m2}N_{m2}&\dotsm &M_{mn}N_{mn}\end{pmatrix}}\in \operatorname {Mat} (m,n;R)$

성질

환 $R$가 주어졌다고 하자.

아다마르 곱은 결합 법칙과 덧셈에 대한 분배 법칙을 따른다. 즉, 임의의

$M,N,P\in \operatorname {Mat} (m,n;R)$

에 대하여, 다음이 성립한다.

$(M\bigcirc N)\bigcirc P=M\bigcirc (N\bigcirc P)$

$M\bigcirc (N+P)=M\bigcirc N+M\bigcirc P$

$(N+P)\bigcirc M=N\bigcirc M+P\bigcirc M$

아다마르 곱의 항등원은 모든 성분이 1인 행렬

${\mathsf {J}}_{m\times n}={\begin{pmatrix}1&1&\dotsm &1\\1&1&&1\\\vdots &&\ddots &\vdots \\1&1&\dotsm &1\end{pmatrix}}$

이다. 이에 따라, $(\operatorname {Mat} (m,n;R),\bigcirc ,{\mathsf {J}})$는 환을 이루며, 이는 환의 직접곱 $R^{mn}$과 동형이다.

만약 $R$가 가환환이라면, 아다마르 곱은 교환 법칙을 따른다. 즉, 임의의

$M,N\in \operatorname {Mat} (m,n;R)$

에 대하여, 만약 $R$가 가환환일 경우 다음이 성립한다.

$M\bigcirc N=N\bigcirc M$

만약 $M\in \operatorname {Mat} (m,n;R)$의 모든 성분이 가역원이라면, $M$에 대한 아다마르 곱은 다음과 같은 역원을 갖는다.

$M^{\bigcirc -1}={\begin{pmatrix}M_{11}^{-1}&M_{12}^{-1}&\dotsm &M_{1n}^{-1}\\M_{21}^{-1}&M_{22}^{-1}&&M_{2n}^{-1}\\\vdots &&\ddots &\vdots \\M_{m1}^{-1}&M_{m2}^{-1}&\dotsm &M_{mn}^{-1}\end{pmatrix}}$

두 대칭 행렬의 아다마르 곱은 대칭 행렬이다. 두 복소수 에르미트 행렬의 아다마르 곱은 에르미트 행렬이다.

슈어-오펜하임 부등식

임의의 두 양의 준정부호 에르미트 행렬

$M,N\in \operatorname {Mat} (n,n;\mathbb {C} )$

$M=M^{*}$

$N=N^{*}$

$v^{*}Mv\geq 0\forall v\in \mathbb {C} ^{n}$

$v^{*}Nv\geq 0\forall v\in \mathbb {C} ^{n}$

이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 슈어-오펜하임 부등식(Schur-Oppenheim不等式, 영어: Schur–Oppenheim inequality)에 따르면, 다음이 성립한다.

• $M\bigcirc N$은 역시 양의 준정부호 에르미트 행렬이다.
• $\det(M\bigcirc N)\geq \left(\prod _{i=1}^{n}\prod _{j=1}^{n}M_{ij}\right)\det N\geq \det(MN)$

역사

“아다마르 곱”이라는 용어는 자크 아다마르의 이름을 딴 것이다.

슈어-오펜하임 부등식의 경우, 이사이 슈어가 1911년에 $\det(M\bigcirc N)\geq \det(MN)$을 증명하였으며,^{:14, Satz Ⅶ} 알렉산더 오펜하임(영어: Alexander Oppenheim, 1903~1997)이 1930년에 이를 개량하였다.

외부 링크

• “Matrix multiplication”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Million, Elizabeth (2007년 4월 12일). “The Hadamard product” (PDF) (영어).