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집적점

(고립점에서 넘어옴)

일반위상수학에서, 집적점(集積點, 영어: accumulation point)은 그 임의의 근방이 주어진 집합과 주어진 기수 개 이상의 점들을 공유하는 점이다.

정의편집

기수  가 주어졌다고 하자. 위상 공간   및 부분 집합   및 점  가 다음 조건을 만족시킨다면,    -집적점(集積點, 영어:  -accumulation point)이라고 한다.

  • 임의의  근방  에 대하여,  이다.

특히, 임의의 점   및 부분 집합  에 대하여, 다음과 같은 기수를 정의할 수 있다.

 

여기서   근방 필터이다. 즉,  는 항상   -집적점이다.

  -집적점들의 집합을

 

로 표기하자.

특별한 값의  에 대하여, 다음과 같은 특별한 용어들이 존재한다.

  •   -집적점을 완비 집적점(完備集積點, 영어: complete accumulation point)이라고 한다.
  •  -집적점을 응집점(凝集點, 영어: condensation point)이라고 한다. (여기서  은 최소의 비가산 기수이다.)
  • 2-집적점을 극한점(極限點, 영어: limit point)이라고 한다. 2-집적점들의 집합을 유도 집합(誘導集合, 영어: derived set)이라고 하며, 흔히  으로 표기한다.
    •  의 극한점이 아닌 점  고립점(孤立點, 문화어: 외딴점, 영어: isolated point)이라고 한다. (즉,  가 고립점이라는 것은 한원소 집합  열린집합이라는 것이다.)
  • 1-집적점을 밀착점(密着點, 영어: adherent point)이라고 한다.  의 1-집적점은  의 원소이거나 아니면  의 2-집적점이다. 1-집적점들의 집합은 폐포라고 한다.
  • 임의의   의 0-집적점이다.

성질편집

폐포와의 관계편집

위상 공간  부분 집합  과 점  에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

  •   의 1-집적점이다.
  •  이거나, 또는   의 2-집적점이다.
  •   폐포에 속한다.

다시 말해,  의 폐포는  와 그 2-집적점들의 집합의 합집합이다.

 
 

위상 공간  부분 집합  에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  •  닫힌집합이다.
  •  
  •  

T1 공간의 경우편집

만약  T1 공간이라면 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  •   의 2-집적점이다.
  •    -집적점이다.

증명:

   -집적점이 아니라고 하자. 그렇다면,  유한 집합 가 존재한다. (  근방 필터이다.)

 T1 공간이므로, 한원소 집합닫힌집합이다. 따라서,

 

역시 (유한 개의 열린집합들의 교집합이므로) 열린집합이다. (여기서  내부를 뜻한다.)  이자  이므로   의 극한점이 아니다.

따라서, T1 공간의 경우  에 대하여  -집적점을 구별하지 않아도 된다.

다음 두 조건이 서로 동치이다.

  •  이산 공간이다.
  •  의 모든 부분 집합은 2-집적점을 갖지 않는다.

유도 집합편집

다음이 성립한다.

  • 임의의  에 대하여,  
  • 임의의 집합   및 기수  에 대하여,  
  • 임의의 집합   및 기수  에 대하여,  

편집

실수선의 부분 집합

 

을 생각하면, 그 집적점 집합들은 다음과 같다.

 

실수선 속의, 무리수부분 집합  을 생각하자.

 

실수선 속의, 유리수부분 집합  을 생각하자.

 

실수선을 스스로의 부분 집합  으로 여기자.

 

즉, 실수선은 자기 조밀 공간이며 고립점을 갖지 않는다.

실수선  의 부분 공간  의 고립점은 0밖에 없다.

실수선의 부분 공간  에서는 0이 아닌 다른 모든 점들이 고립점이다. 0은 고립점이 아니다.

이산 공간편집

위상 공간  에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  •  이산 공간이다.
  •  의 모든 점은 고립점이다.

역사편집

유도 집합(독일어: abgeleitete Punktmenge)이라는 용어는 게오르크 칸토어가 1872년에 도입하였다.[1]:129, §2

참고 문헌편집

외부 링크편집