호모토피 범주

호모토피 이론에서 호모토피 범주(homotopy範疇, 영어: homotopy category)는 주어진 모형 범주에서, 모든 약한 동치를 동형 사상으로 만들어 얻는 범주이다.

정의

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모형 범주  가 주어졌다고 하자. 이에 대응하는 호모토피 범주(영어: homotopy category)  는 다음과 같은 범주이다.

  •  의 대상들은  의 대상 가운데 올대상이자 쌍대올대상인 것들이다.
  •  의 사상들은  의 사상들의 호모토피류이다. (정의역과 공역이 모두 올대상이자 쌍대올대상일 경우), 오른쪽 호모토픽 및 왼쪽 호모토픽 조건이 서로 동치이다.

성질

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모형 범주  에서, 그 호모토피 범주로 가는, 다음 조건을 만족시키는 함자

 

가 항상 존재한다.

  •   속의 약한 동치  의 상   동형 사상이다.
  • 올대상이자 쌍대올대상인 대상  의 상    자신이다.
  • 올대상이자 쌍대올대상인 두 대상   및 사상  에 대하여,   호모토피류이다.

이러한 함자는 일반적으로 유일하지 않으나, 이러한 두 함자 사이에는 항상 유일한 자연 동형이 존재한다.

퀼런 수반

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모형 범주  ,   사이의 퀼런 수반 함자

 
 
 

가 주어졌을 때, 각각 왼쪽 유도 함자

 

오른쪽 유도 함자

 

를 정의할 수 있으며, 이 역시 서로 수반 함자

 

를 이룬다.

위상 공간의 (퀼런) 모형 범주의 호모토피 범주는 CW 복합체와 그 사이의 연속 함수호모토피류들의 범주와 동치이다.

외부 링크

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