유도 함자 의 개념은 원래 단사 또는 사영 대상을 충분히 가지는 아벨 범주 의 대상에 대하여 정의되었다. 이 정의는 아벨 범주 의 대상 대신 그 속의 사슬 복합체 에 대하여 일반화할 수 있으며, 하나의 대상에 대한 유도 함자는 하나의 성분만을 가지는 사슬 복합체에 대한 특수한 경우이다. 사슬 복합체에 대하여 정의된 유도 함자는 초유도 함자 (超誘導函子, 영어 : hyperderived functor ) 또는 초코호몰로지 (超cohomology, 영어 : hypercohomology )라고 한다. 초유도 함자의 값은 사슬 복합체 의 유사동형 에 의존하지 않으며, 따라서 자연스럽게 유도 범주 위에 정의된다.
사슬 복합체 의 범주는 자연스럽게 모형 범주 를 이루며, 초유도 함자의 개념을 임의의 모형 범주 에 대하여 일반화할 수 있다.
단사 대상을 충분히 가지는 아벨 범주
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
A
∈
A
{\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}
단사 분해 , 즉 다음과 같은 꼴의 긴 완전열 이 존재한다.
0
→
A
→
I
0
→
I
1
→
I
2
→
⋯
{\displaystyle 0\to A\to I^{0}\to I^{1}\to I^{2}\to \cdots }
여기서
I
∙
∈
Ch
≥
0
∙
(
A
)
{\displaystyle I^{\bullet }\in \operatorname {Ch} _{\geq 0}^{\bullet }({\mathcal {A}})}
단사 대상 으로 구성된 자연수 차수 공사슬 복합체 이다. 이러한 긴 완전열 을 대상
A
{\displaystyle A}
단사 분해 (영어 : injective resolution )이라고 한다. 단사 분해는 유일하지 않을 수 있다. 단사 분해는 다음과 같은 꼴의, 단사 대상 으로 구성된 자연수 차수 공사슬 복합체 의 유사동형 과 같다.
0
→
A
→
0
→
0
→
⋯
↓
↓
↓
↓
0
→
I
0
→
I
1
→
I
2
→
⋯
H
i
(
I
)
=
{
A
i
=
0
0
i
>
0
{\displaystyle {\begin{matrix}0&\to &A&\to &0&\to &0&\to &\cdots \\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\0&\to &I^{0}&\to &I^{1}&\to &I^{2}&\to &\cdots \end{matrix}}\qquad \operatorname {H} ^{i}(I)={\begin{cases}A&i=0\\0&i>0\end{cases}}}
단사 대상을 충분히 가지는 아벨 범주
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
아벨 범주
B
{\displaystyle {\mathcal {B}}}
왼쪽 완전 함자
F
:
A
→
B
{\displaystyle F\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}}
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
A
∈
A
{\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}
F
{\displaystyle F}
상 을 생각하자.
0
→
F
(
A
)
→
0
→
0
→
⋯
↓
↓
↓
↓
0
→
F
(
I
0
)
→
F
(
I
1
)
→
F
(
I
2
)
→
⋯
{\displaystyle {\begin{matrix}0&\to &F(A)&\to &0&\to &0&\to &\cdots \\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\0&\to &F(I^{0})&\to &F(I^{1})&\to &F(I^{2})&\to &\cdots \end{matrix}}}
F
{\displaystyle F}
유사동형 을 보존하지 않는다. 즉,
I
∙
{\displaystyle I^{\bullet }}
완전열 이었지만,
F
(
I
∙
)
{\displaystyle F(I^{\bullet })}
F
(
I
∙
)
{\displaystyle F(I^{\bullet })}
코호몰로지 를
F
{\displaystyle F}
오른쪽 유도 함자 의 값으로 정의한다.
R
∙
F
:
A
→
Ch
≤
0
∙
{\displaystyle \operatorname {R} ^{\bullet }F\colon {\mathcal {A}}\to \operatorname {Ch} _{\leq 0}^{\bullet }}
R
∙
F
(
A
)
=
H
∙
(
F
(
I
)
)
{\displaystyle \operatorname {R} ^{\bullet }F(A)=\operatorname {H} ^{\bullet }(F(I))}
특히,
R
0
F
(
A
)
=
F
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {R} ^{0}F(A)=F(A)}
보다 일반적으로, 단사 대상을 충분히 가지는 아벨 범주
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
공사슬 복합체
A
∙
∈
Ch
≥
0
∙
(
A
)
{\displaystyle A^{\bullet }\in \operatorname {Ch} _{\geq 0}^{\bullet }({\mathcal {A}})}
단사 대상 으로 구성된 유사동형 공사슬 복합체 를 찾을 수 있다.
0
→
A
0
→
A
1
→
A
2
→
⋯
↓
↓
↓
↓
0
→
I
0
→
I
1
→
I
2
→
⋯
H
i
(
I
)
=
H
i
(
A
)
{\displaystyle {\begin{matrix}0&\to &A^{0}&\to &A^{1}&\to &A^{2}&\to &\cdots \\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\0&\to &I^{0}&\to &I^{1}&\to &I^{2}&\to &\cdots \end{matrix}}\qquad \operatorname {H} ^{i}(I)=\operatorname {H} ^{i}(A)}
이를 공사슬 복합체
A
∙
{\displaystyle A^{\bullet }}
단사 분해 라고 한다. 하나의 대상의 단사 분해는 0차 성분만을 가진 공사슬 복합체 에 대한 특수한 경우이다. 임의의 공사슬 복합체
A
∙
∈
Ch
≥
0
∙
(
A
)
{\displaystyle A^{\bullet }\in \operatorname {Ch} _{\geq 0}^{\bullet }({\mathcal {A}})}
왼쪽 완전 함자
F
:
A
→
B
{\displaystyle F\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}}
유사동형 을 일반적으로 보존하지 않는다.
F
{\displaystyle F}
오른쪽 초유도 함자 (영어 : right hyperderived functor )의 값은
A
∙
{\displaystyle A^{\bullet }}
I
∙
{\displaystyle I^{\bullet }}
상
F
(
I
)
{\displaystyle F(I)}
코호몰로지 이다.
R
∙
F
:
Ch
≥
0
∙
(
F
)
→
Ch
≥
0
∙
(
B
)
{\displaystyle \operatorname {R} ^{\bullet }F\colon \operatorname {Ch} _{\geq 0}^{\bullet }(F)\to \operatorname {Ch} _{\geq 0}^{\bullet }({\mathcal {B}})}
R
∙
F
(
A
)
=
H
∙
(
F
(
A
)
)
{\displaystyle \operatorname {R} ^{\bullet }F(A)=\operatorname {H} ^{\bullet }(F(A))}
서로 다른 단사 분해를 사용하면, 자연 동형 오른쪽 유도 함자를 얻으며, 따라서 오른쪽 유도 함자는 단사 분해의 선택에 의존하지 않는다. 또한, 오른쪽 유도 함자
R
i
F
:
A
→
B
{\displaystyle R^{i}F\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}}
가법 함자 임을 보일 수 있다.
단사 대상 대신, 사영 대상 을 사용해 오른쪽 완전 함자
G
{\displaystyle G}
왼쪽 유도 함자 (영어 : left derived functor )
L
i
G
{\displaystyle \operatorname {L} _{i}G}
사영 대상을 충분히 가지는 아벨 범주
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
A
∈
A
{\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}
사영 분해 (영어 : projective resolution )
P
∙
{\displaystyle P_{\bullet }}
⋯
→
P
2
→
P
1
→
P
0
→
0
↓
↓
↓
↓
⋯
→
0
→
0
→
A
→
0
H
i
(
I
)
=
{
A
i
=
0
0
i
>
0
{\displaystyle {\begin{matrix}\cdots &\to &P_{2}&\to &P_{1}&\to &P_{0}&\to &0\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\\cdots &\to &0&\to &0&\to &A&\to &0\\\end{matrix}}\qquad \operatorname {H} _{i}(I)={\begin{cases}A&i=0\\0&i>0\end{cases}}}
사영 대상을 충분히 가지는 아벨 범주
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
아벨 범주
B
{\displaystyle {\mathcal {B}}}
오른쪽 완전 함자
F
:
A
→
B
{\displaystyle F\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}}
왼쪽 유도 함자
L
i
F
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {L} _{i}F(A)}
A
{\displaystyle A}
호몰로지 이다.
⋯
→
F
(
P
2
)
→
F
(
P
1
)
→
F
(
P
0
)
→
0
↓
↓
↓
↓
⋯
→
0
→
0
→
F
(
A
)
→
0
H
i
(
F
(
P
∙
)
)
=
L
i
F
(
P
∙
)
{\displaystyle {\begin{matrix}\cdots &\to &F(P_{2})&\to &F(P_{1})&\to &F(P_{0})&\to &0\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\\cdots &\to &0&\to &0&\to &F(A)&\to &0\\\end{matrix}}\qquad \operatorname {H} _{i}(F(P_{\bullet }))=\operatorname {L} _{i}F(P_{\bullet })}
L
∙
F
:
A
→
Ch
∙
≥
0
(
B
)
{\displaystyle \operatorname {L} _{\bullet }F\colon {\mathcal {A}}\to \operatorname {Ch} _{\bullet }^{\geq 0}({\mathcal {B}})}
보다 일반적으로, 사영 대상을 충분히 가지는 아벨 범주
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
사슬 복합체
A
∙
∈
Ch
∙
≥
0
(
A
)
{\displaystyle A_{\bullet }\in \operatorname {Ch} _{\bullet }^{\geq 0}({\mathcal {A}})}
사영 대상 으로 구성된 유사동형 사슬 복합체 를 찾을 수 있다.
⋯
→
P
2
→
P
1
→
P
0
→
0
↓
↓
↓
↓
⋯
→
A
2
→
A
1
→
A
0
→
0
H
i
(
I
∙
)
=
H
i
(
A
∙
)
{\displaystyle {\begin{matrix}\cdots &\to &P_{2}&\to &P_{1}&\to &P_{0}&\to &0\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\\cdots &\to &A_{2}&\to &A_{1}&\to &A_{0}&\to &0\\\end{matrix}}\qquad \operatorname {H} _{i}(I_{\bullet })=\operatorname {H} _{i}(A_{\bullet })}
이를 사슬 복합체
A
∙
{\displaystyle A_{\bullet }}
사영 분해 라고 한다. 하나의 대상의 사영 분해는 0차 성분만을 가진 사슬 복합체 에 대한 특수한 경우이다.
사영 대상을 충분히 가지는 아벨 범주
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
아벨 범주
B
{\displaystyle {\mathcal {B}}}
오른쪽 완전 함자
F
:
A
→
B
{\displaystyle F\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}}
왼쪽 초유도 함자 (영어 : left hyperderived functor )
L
∙
F
:
Ch
∙
≥
0
A
→
Ch
∙
≥
0
(
B
)
{\displaystyle \operatorname {L} _{\bullet }F\colon \operatorname {Ch} _{\bullet }^{\geq 0}{\mathcal {A}}\to \operatorname {Ch} _{\bullet }^{\geq 0}({\mathcal {B}})}
는
A
∙
{\displaystyle A_{\bullet }}
호몰로지 이다.
⋯
→
F
(
P
2
)
→
F
(
P
1
)
→
F
(
P
0
)
→
0
↓
↓
↓
↓
⋯
→
F
(
A
2
)
→
F
(
A
1
)
→
F
(
A
0
)
→
0
H
i
(
F
(
P
∙
)
)
=
L
i
F
(
P
∙
)
{\displaystyle {\begin{matrix}\cdots &\to &F(P_{2})&\to &F(P_{1})&\to &F(P_{0})&\to &0\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\\cdots &\to &F(A_{2})&\to &F(A_{1})&\to &F(A_{0})&\to &0\end{matrix}}\qquad \operatorname {H} _{i}(F(P_{\bullet }))=\operatorname {L} _{i}F(P_{\bullet })}
단사 또는 사영 대상을 충분히 가지는 아벨 범주 위의 (공)사슬 복합체 의 범주는 모형 범주 를 이루며, 그 위의 유도 함자의 정의는 임의의 모형 범주 에 대하여 일반화할 수 있다. 이 경우 단사·사영 분해는 (적절한 모형 범주 구조에 대한) (쌍대)올 분해에 대응한다.
모형 범주
M
{\displaystyle {\mathcal {M}}}
호모토피 범주 로 가는 충실한 함자
M
→
ho
(
M
)
{\displaystyle {\mathcal {M}}\to \operatorname {ho} ({\mathcal {M}})}
가 존재한다. 이 함자는 모형 범주
M
{\displaystyle {\mathcal {M}}}
호모토피 범주
ho
(
M
)
{\displaystyle \operatorname {ho} ({\mathcal {M}})}
동형 사상 으로 대응시킨다.
모형 범주에서 올뭉치를
↠
{\displaystyle \twoheadrightarrow }
↪
{\displaystyle \hookrightarrow }
→
∼
{\displaystyle {\xrightarrow {\sim }}}
시작 대상 은
{
∙
}
∈
M
{\displaystyle \{\bullet \}\in {\mathcal {M}}}
끝 대상 은
∅
∈
M
{\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {M}}}
모형 범주
M
{\displaystyle {\mathcal {M}}}
범주
D
{\displaystyle {\mathcal {D}}}
F
:
M
→
D
{\displaystyle F\colon {\mathcal {M}}\to {\mathcal {D}}}
M
{\displaystyle {\mathcal {M}}}
올대상 사이의 약한 동치를
B
{\displaystyle {\mathcal {B}}}
동형 사상 으로 보낸다고 하자.
임의의 대상
A
∈
M
{\displaystyle A\in {\mathcal {M}}}
올분해 (영어 : fibrant resolution )
A
→
∼
I
↠
{
∙
}
{\displaystyle A{\xrightarrow {\sim }}I\twoheadrightarrow \{\bullet \}}
가 주어졌다고 하자. 그렇다면,
F
{\displaystyle F}
오른쪽 초유도 함자
R
F
{\displaystyle \operatorname {R} F}
R
F
:
ho
(
M
)
→
D
{\displaystyle \operatorname {R} F\colon \operatorname {ho} ({\mathcal {M}})\to {\mathcal {D}}}
R
F
:
A
↦
F
(
I
)
{\displaystyle \operatorname {R} F\colon A\mapsto F(I)}
이 함자는 약한 동치를 동형 사상으로 대응시키므로, 자연스럽게 호모토피 범주
ho
(
M
)
{\displaystyle \operatorname {ho} ({\mathcal {M}})}
공사슬 복합체
모형 범주
공사슬 복합체 범주
Ch
≥
0
∙
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {Ch} _{\geq 0}^{\bullet }({\mathcal {A}})}
모형 범주
M
{\displaystyle {\mathcal {M}}}
공사슬 복합체 범주의 유도 범주
D
≥
0
∙
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {D} _{\geq 0}^{\bullet }({\mathcal {A}})}
모형 범주 의 호모토피 범주
ho
(
M
)
{\displaystyle \operatorname {ho} ({\mathcal {M}})}
유도 범주
D
(
B
)
{\displaystyle \operatorname {D} ({\mathcal {B}})}
범주
D
{\displaystyle {\mathcal {D}}}
오른쪽 완전 함자
F
:
A
→
B
{\displaystyle F\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}}
F
∗
:
Ch
≥
0
∙
→
D
(
B
)
{\displaystyle F^{*}\colon \operatorname {Ch} _{\geq 0}^{\bullet }\to \operatorname {D} ({\mathcal {B}})}
함자
F
:
M
→
D
{\displaystyle F\colon {\mathcal {M}}\to {\mathcal {D}}}
단사 대상 으로 구성된 공사슬 복합체
I
∙
{\displaystyle I^{\bullet }}
올 대상
I
↠
{
∙
}
{\displaystyle I\twoheadrightarrow \{\bullet \}}
단사 분해
A
∙
→
I
∙
{\displaystyle A^{\bullet }\to I^{\bullet }}
올 분해
A
→
∼
I
↠
{
∙
}
{\displaystyle A{\xrightarrow {\sim }}I\twoheadrightarrow \{\bullet \}}
오른쪽 초유도 함자
R
F
:
D
≥
0
∙
(
A
)
→
D
(
B
)
{\displaystyle \operatorname {R} F\colon \operatorname {D} _{\geq 0}^{\bullet }({\mathcal {A}})\to \operatorname {D} ({\mathcal {B}})}
오른쪽 초유도 함자
R
F
:
M
→
D
{\displaystyle \operatorname {R} F\colon {\mathcal {M}}\to {\mathcal {D}}}
모형 범주
M
{\displaystyle {\mathcal {M}}}
호모토피 범주 로 가는 충실한 함자
M
→
ho
(
M
)
{\displaystyle {\mathcal {M}}\to \operatorname {ho} ({\mathcal {M}})}
가 존재한다.
모형 범주
M
{\displaystyle {\mathcal {M}}}
범주
D
{\displaystyle {\mathcal {D}}}
F
:
M
→
D
{\displaystyle F\colon {\mathcal {M}}\to {\mathcal {D}}}
M
{\displaystyle {\mathcal {M}}}
쌍대올대상 사이의 약한 동치를
B
{\displaystyle {\mathcal {B}}}
동형 사상 으로 보낸다고 하자.
임의의 대상
A
∈
M
{\displaystyle A\in {\mathcal {M}}}
∅
↪
Q
→
A
{\displaystyle \varnothing \hookrightarrow Q\to A}
가 주어졌다고 하자. 그렇다면,
F
{\displaystyle F}
왼쪽 초유도 함자
L
F
{\displaystyle \operatorname {L} F}
L
F
:
ho
(
M
)
→
D
{\displaystyle \operatorname {L} F\colon \operatorname {ho} ({\mathcal {M}})\to {\mathcal {D}}}
L
F
:
A
↦
F
(
Q
)
{\displaystyle \operatorname {L} F\colon A\mapsto F(Q)}
사슬 복합체
모형 범주
사슬 복합체 범주
Ch
∙
≥
0
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {Ch} _{\bullet }^{\geq 0}({\mathcal {A}})}
모형 범주
M
{\displaystyle {\mathcal {M}}}
사슬 복합체 범주의 유도 범주
D
∙
≥
0
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {D} _{\bullet }^{\geq 0}({\mathcal {A}})}
모형 범주 의 호모토피 범주
ho
(
M
)
{\displaystyle \operatorname {ho} ({\mathcal {M}})}
유도 범주
D
(
B
)
{\displaystyle \operatorname {D} ({\mathcal {B}})}
범주
D
{\displaystyle {\mathcal {D}}}
오른쪽 완전 함자
F
:
A
→
B
{\displaystyle F\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}}
F
∗
:
Ch
∙
≥
0
→
D
(
B
)
{\displaystyle F^{*}\colon \operatorname {Ch} _{\bullet }^{\geq 0}\to \operatorname {D} ({\mathcal {B}})}
함자
F
:
M
→
D
{\displaystyle F\colon {\mathcal {M}}\to {\mathcal {D}}}
사영 대상 으로 구성된 사슬 복합체
P
∙
{\displaystyle P_{\bullet }}
쌍대올 대상
0
↪
P
{\displaystyle 0\hookrightarrow P}
사영 분해
P
∙
→
A
∙
{\displaystyle P_{\bullet }\to A_{\bullet }}
쌍대올 분해
0
↪
P
→
A
{\displaystyle 0\hookrightarrow P\to A}
왼쪽 초유도 함자
L
F
:
D
∙
≥
0
→
D
(
B
)
{\displaystyle \operatorname {L} F\colon \operatorname {D} _{\bullet }^{\geq 0}\to \operatorname {D} ({\mathcal {B}})}
왼쪽 초유도 함자
L
F
:
M
→
D
{\displaystyle \operatorname {L} F\colon {\mathcal {M}}\to {\mathcal {D}}}
모형 범주 에서는 약한 동치의 모임 이 주어진다. 모형 범주에 존재하는 추가 구조 (올뭉치 · 쌍대올뭉치)는 유도 함자를 구체적으로 구성하는 데 간편하지만, 유도 함자를 정의하는 데 필요하지 않다. 따라서, 약한 동치가 주어진 범주에 대하여 유도 함자를 칸 확대 의 개념을 사용하여 일반적으로 정의할 수 있다.[ 2]
약한 동치의 모임이 주어진 범주
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
F
:
C
→
D
{\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}
국소화 를 가하여 (범주론적인 문제를 무시하면) 호모토피 범주
ho
(
C
)
{\displaystyle \operatorname {ho} ({\mathcal {C}})}
J
:
C
→
ho
(
C
)
{\displaystyle J\colon {\mathcal {C}}\to \operatorname {ho} ({\mathcal {C}})}
F
{\displaystyle F}
왼쪽 유도 함자
L
F
:
ho
(
C
)
→
D
{\displaystyle \operatorname {L} F\colon \operatorname {ho} ({\mathcal {C}})\to {\mathcal {D}}}
F
{\displaystyle F}
J
{\displaystyle J}
오른쪽 칸 확대 이다.
C
→
F
D
↓
L
F
↗
L
F
ho
(
C
)
{\displaystyle {\begin{matrix}{\mathcal {C}}&{\overset {F}{\to }}&{\mathcal {D}}\\\downarrow &\!\!\!\!{\color {White}_{\mathrm {L} F}}\nearrow _{\mathrm {L} F}\!\!\!\!\\\!\!\!\!\operatorname {ho} ({\mathcal {C}})\!\!\!\!\end{matrix}}}
오른쪽 칸 확대 의 보편 성질 에 따라서, 임의의 대상
X
∈
C
{\displaystyle X\in {\mathcal {C}}}
L
F
(
J
(
X
)
)
→
F
(
X
)
{\displaystyle \operatorname {L} F(J(X))\to F(X)}
모형 범주 의 경우, 이 사상은
X
{\displaystyle X}
0
↪
P
→
X
{\displaystyle 0\hookrightarrow P\to X}
F
(
P
)
→
F
(
X
)
{\displaystyle F(P)\to F(X)}
마찬가지로,
F
{\displaystyle F}
오른쪽 유도 함자
R
F
:
ho
(
C
)
→
D
{\displaystyle \operatorname {R} F\colon \operatorname {ho} ({\mathcal {C}})\to {\mathcal {D}}}
F
{\displaystyle F}
J
{\displaystyle J}
왼쪽 칸 확대 이다. 왼쪽 칸 확대 의 보편 성질 에 따라서, 임의의 대상
X
∈
C
{\displaystyle X\in {\mathcal {C}}}
F
(
X
)
→
R
F
(
J
(
X
)
)
{\displaystyle F(X)\to \operatorname {R} F(J(X))}
모형 범주 의 경우, 이 사상은
X
{\displaystyle X}
X
→
I
↠
{
∙
}
{\displaystyle X\to I\twoheadrightarrow \{\bullet \}}
F
(
X
)
→
F
(
I
)
{\displaystyle F(X)\to F(I)}
C
→
F
D
↓
L
F
↗
L
F
ho
(
C
)
{\displaystyle {\begin{matrix}{\mathcal {C}}&{\overset {F}{\to }}&{\mathcal {D}}\\\downarrow &\!\!\!\!{\color {White}_{\mathrm {L} F}}\nearrow _{\mathrm {L} F}\!\!\!\!\\\!\!\!\!\operatorname {ho} ({\mathcal {C}})\!\!\!\!\end{matrix}}}
원래 함자
F
{\displaystyle F}
왼쪽 완전 함자 라고 가정하였으므로, 단사 분해의 처음 부분
0
→
X
0
→
I
0
→
I
1
{\displaystyle 0\to X^{0}\to I^{0}\to I^{1}}
의 상
0
→
F
(
X
0
)
→
F
(
I
0
)
→
F
(
I
1
)
{\displaystyle 0\to F(X^{0})\to F(I^{0})\to F(I^{1})}
은 완전열 이다. 따라서,
F
(
X
0
)
→
F
(
I
0
)
{\displaystyle F(X^{0})\to F(I^{0})}
단사 사상 이며,
R
0
F
(
X
)
=
ker
(
F
(
I
0
)
→
F
(
I
1
)
)
=
im
(
F
(
X
)
→
F
(
I
0
)
)
≅
F
(
X
)
{\displaystyle \operatorname {R} ^{0}F(X)=\ker(F(I^{0})\to F(I^{1}))=\operatorname {im} (F(X)\to F(I^{0}))\cong F(X)}
이다. 따라서, 0차 유도 함자는 원래 함자와 자연 동형 이다. 즉,
R
0
F
≃
F
{\displaystyle R^{0}F\simeq F}
만약
X
{\displaystyle X}
단사 대상 이라면, 단사 분해를
0
→
X
→
X
→
0
{\displaystyle 0\to X\to X\to 0}
으로 취할 수 있다. 이 경우, 단사 분해의 상
0
→
F
(
X
)
→
F
(
X
)
→
0
{\displaystyle 0\to F(X)\to F(X)\to 0}
의 호몰로지 는 자명하다. 즉, 모든
i
>
0
{\displaystyle i>0}
R
i
F
(
X
)
=
0
{\displaystyle \operatorname {R} ^{i}F(X)=0}
단사 대상 의 유도 함자에 대한 상 은 항상 0이다.
왼쪽 완전 함자
F
:
C
→
D
{\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
짧은 완전열
0
→
A
→
B
→
C
→
0
{\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0}
이 주어졌을 때, 뱀 보조정리 에 따라서 다음과 같은 긴 완전열 이 발생한다.
0
→
F
(
A
)
→
F
(
B
)
→
F
(
C
)
→
R
1
F
(
A
)
→
R
1
F
(
B
)
→
R
1
F
(
C
)
→
R
2
F
(
A
)
→
⋯
{\displaystyle 0\to F(A)\to F(B)\to F(C)\to \operatorname {R} ^{1}F(A)\to \operatorname {R} ^{1}F(B)\to \operatorname {R} ^{1}F(C)\to \operatorname {R} ^{2}F(A)\to \cdots }
마찬가지로, 오른쪽 완전 함자
F
:
C
→
D
{\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
짧은 완전열
0
→
A
→
B
→
C
→
0
{\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0}
이 주어졌을 때, 뱀 보조정리 에 따라서 다음과 같은 긴 완전열 이 발생한다.
⋯
→
L
2
F
(
C
)
→
L
1
F
(
A
)
→
L
1
F
(
B
)
→
L
1
F
(
C
)
→
F
(
A
)
→
F
(
B
)
→
F
(
C
)
→
0
{\displaystyle \cdots \to \operatorname {L} _{2}F(C)\to \operatorname {L} _{1}F(A)\to \operatorname {L} _{1}F(B)\to \operatorname {L} _{1}F(C)\to F(A)\to F(B)\to F(C)\to 0}
![{\displaystyle (-)^{G}\colon \mathbb {Z} [G]{\text{-Mod}}\to \operatorname {Ab} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f2bd5033a676fe8c0cb4fb52040535c61c5b294)
![{\displaystyle (-)_{G}\colon \mathbb {Z} [G]{\text{-Mod}}\to \operatorname {Ab} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fd540b79142026b0f9560ae1dc17e655542be7c)
