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홀 결혼 정리

조합적 집합론에서, 홀 결혼 정리(Hall結婚定理, 영어: Hall marriage theorem)는 여러 유한 집합들의 집합족으로부터, 각 집합에서 서로 다른 원소를 고를 수 있는 필요충분조건에 대한 정리다.

정의편집

집합족  의 모든 원소가 유한 집합이라고 하자. 홀 결혼 정리에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[1]:289

  • (결혼 조건 영어: marriage condition) 모든  에 대하여,  
  • (횡단의 존재) 다음 조건들을 만족시키는 순서쌍  가 존재한다. 이러한 순서쌍을 횡단(橫斷, 영어: transversal) 또는 변별 대표원계(辨別代表元系, 영어: system of distinct representatives)라고 한다.
    •  집합이다.
    •  전단사 함수이다.
    • 모든  에 대하여  이다.

횡단의 존재가 결혼 조건을 함의한다는 것은 자명하므로, 홀 결혼 정리에서 실제로 증명할 것은 결혼 조건이 횡단의 존재를 함의한다는 것이다.

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홀 결혼 정리는 무한 집합의 경우 성립하지 않는다. 예를 들어,

 

이라고 하자. 이는 결혼 조건을 만족시키지만, 횡단이 존재하지 않는다.

역사와 어원편집

영국필립 홀(영어: Philip Hall)이 쾨니그의 정리와 동치인 홀 결혼 정리를 1935년에 증명하였다.[2]

"결혼 조건"의 어원은 다음과 같다.  명의 미혼 이성애자 남성과  명의 미혼 이성애자 여성이 있다고 하자. 이들이 배우자에 대하여 다음 조건들을 요구한다고 하자.

  • 각 남성은 임의의 여성과 결혼할 수 있다.
  • 각 여성  은 어떤 남성의 집합  의 원소만을 결혼하고자 한다.

복혼 없이 모든 사람들이 결혼하는 방법은  의 횡단을 정의한다. 이 경우, 홀 결혼 정리는 모든 사람들이 결혼할 수 있는지 확인할 수 있는 필요충분조건을 제공한다.[1]:289

참고 문헌편집

  1. 윤영진 (2007). 《새로운 조합수학》. 교우사. ISBN 978-89-8172-379-8. 
  2. Hall, Philip (1935). “On representatives of subsets”. 《Journal of the London Mathematical Society》 (영어) 10 (1): 26–30. JFM 61.0067.01. Zbl 0010.34503. doi:10.1112/jlms/s1-10.37.26. 

외부 링크편집

같이 보기편집