원분체

대수적 수론에서 원분체(圓分體, 영어: cyclotomic field)는 유리수체에 1의 거듭제곱근을 첨가하여 얻는 대수적 수체이다.

정의

$n\geq 3$이 3 이상의 정수이며, $n\not \equiv 2{\pmod {4}}$라고 하자. n차 원분체는 $\zeta _{n}^{n}=1$을 만족시키는 원소 $\zeta _{n}$을 첨가한, 유리수체의 확대 $\mathbb {Q} (\zeta _{n})$이다.

성질

원분체 $\mathbb {Q} (\zeta _{n})/\mathbb {Q}$는 갈루아 확대이며, 차수는 오일러 피 함수에 의하여 주어진다.

$[\mathbb {Q} (\zeta _{n}):\mathbb {Q} ]=\phi (n)$

원분체의 갈루아 군은 $\mathbb {Z} /(n)$의 가역원군

$\operatorname {Gal} (\mathbb {Q} (\zeta _{n})/\mathbb {Q} )\cong (\mathbb {Z} /(n))^{\times }$

이며, 이 동형은 구체적으로

$[k]\colon \sum _{0\leq i<n}^{\gcd(i,n)=1}a_{i}\zeta _{n}^{i}\mapsto \sum _{0\leq i<n}^{\gcd(i,n)=1}a_{i}\zeta _{n}^{ki}$

이다.

유수

원분체 $\mathbb {Q} (\zeta _{n})$ 가운데, 그 대수적 정수환이 유일 인수 분해 정역인 것(유수가 1인 것)은 총 30개가 있으며, 다음과 같다.

$n\in \{1,\dots ,21,24,25,27,28,32,33,35,36,40,44,45,48,60,84\}$ (OEIS의 수열 A5848)

유수가 1이 아닌 원분체의 유수들은 다음과 같다 ($n\leq 99$, $n\not \equiv 2{\pmod {4}}$). (OEIS의 수열 A61653)

n	유수	n	유수	n	유수	n	유수
23	3	29	8	31	9	37	37
39	2	41	121	43	211	47	695
49	43	51	5	52	3	53	4889
55	10	56	2	57	9	59	41241
61	76301	63	7	64	17	65	64
67	853513	68	8	69	69	71	3882809
72	3	73	11957417	75	11	76	19
77	1280	79	100146415	80	5	81	2593
83	838216959	85	6205	87	1536	88	55
89	13379363737	91	53872	92	201	93	6795
95	107692	96	9	97	411322842001	99	2883

소수의 분기화

$\mathbb {Q} (\zeta ^{n})/\mathbb {Q}$에서 분기하는 소수는 $n$의 소인수들이다. 만약

$n=\prod _{p}p^{n_{p}}$

라면 $n_{p}>0$, $\mathbb {Z}$의 소 아이디얼 $(p)$는 ${\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} (\zeta ^{n})}$에서 $\phi (p^{n_{p}})$제곱 아이디얼로 분해된다. 즉,

$(p)=({\mathfrak {P}}_{1}\cdots {\mathfrak {P}}_{s})^{\phi (p^{n_{p}})}$

인 서로 다른 소 아이디얼들 ${\mathfrak {P}}_{1},\dots ,{\mathfrak {P}}_{s}\subset {\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} (\zeta _{n})}$이 존재한다.

참고 문헌

• Washington, Lawrence C. (1982). 《Introduction to Cyclotomic Fields》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 83. Springer. ISBN 0-387-90622-3. 
• Lang, Serge (1990). 《Cyclotomic Fields I and II (1·2권 합본)》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 121 2판. Springer. ISBN 0-387-96671-4. 
• Coates, John; Sujatha Ramdorai (2006). 《Cyclotomic fields and zeta values》. Springer Monographs in Mathematics (영어). Springer. ISBN 3-540-33068-2. Zbl 1100.11002. 

같이 보기

• 이차 수체