ADM 형식
아노윗-데세르-미스너 수식 체계(Arnowitt-Deser-Misner數式體系, 영어: Arnowitt–Deser–Misner formalism, 약자 ADM 수식 체계)는 일반 상대성 이론을 해밀턴 역학으로 표현하는 방법이다.[1][2][3][4][5][6] 시공간에 공간적 엽층을 준 뒤, 엽층의 각 잎의 (시공의 부분 다양체로서) 유도된 계량 텐서에 대하여 일반화 운동량을 정의한다. 잎의 계량 텐서 및 그 운동량에 포함되지 않는 (질량 껍질 밖) 자유도는 라그랑주 승수 꼴로 나타나, 이론에 제약을 준다.
전개 편집
그리스 문자 첨자 는 차원 시공간을, 로마자 첨자 는 차원 공간만을 나타낸다. 여기서는 −+++ 계량 부호수를 쓴다. 편의상 로 놓자.
계량 텐서의 분해 편집
차원에서, 일반 상대성 이론의 동적 변수는 대칭 텐서인 계량 텐서 의 개의 성분들이다. 그러나 일반 상대성 이론은 임의의 미분 동형 사상을 게이지 대칭으로 가지며, 이는 (국소적으로) 와 같은 꼴이므로, 의 성분 가운데 개는 게이지 변환을 통해 흡수될 수 있으며, 따라서 실제 동적인 장들은 그 가운데
개이다. 즉, 계량 텐서를 다음과 같은 꼴로 표시할 수 있다.[2]:(3.9a), (3.10), (3.11a), (3.11b)
여기서 보조장 과 는 각각 경과장(經過場, 영어: lapse 랩스[*]) 및 이동장(移動場, 영어: shift 시프트[*])이라고 불린다. 는 의 역행렬이다(특히, 의 역행렬의 성분이 아니다). 는 의 역행렬의 한 성분이다.
이 경우, 차원 계량 텐서의 행렬식은 다음과 같다.[2]:(3.12)
즉, 경과장 은 차원 계량으로 측정한 차원 초부피 원소(야코비 행렬식)와 차원 계량으로 측정한 차원 부피 원소(야코비 행렬식)의 비이다.
이러한 분해는 전자기 퍼텐셜 의 분해와 마찬가지다. 전자기학에서 가 게이지 변환에 의하여 라그랑주 승수 보조장이 되는 것처럼, 과 역시 마찬가지 역할을 한다.
운동량과 작용 편집
일반 상대성 이론은 아인슈타인-힐베르트 작용으로 나타낼 수 있다.
이제 편의상 인 경우만을 생각하자. 에 대한 일반화 운동량 를 계산하면 다음과 같다.
에 대하여 해밀토니언을 정의하자. 그렇다면 작용은 다음과 같다.
여기서
성질 편집
운동 방정식 편집
및 에 대한 오일러-라그랑주 방정식은 다음과 같다.
보조장들에 대한 운동 방정식은 다음과 같다.
이들은 위상 공간의 제약을 나타내며, 전자기장의 가우스 법칙 제약과 유사하다. 보조장 및 자체는 임의로 값을 줄 수 있다. 이는 일반 상대성 이론에서 미분 동형 사상 대칭이 게이지 대칭이기 때문이다.
위상 공간 편집
일반적으로, 차원 시공간 에서, ADM 수식 체계에 의한, 일반 상대성 이론의 위상 공간은 위의 매끄러운 올다발의 매끄러운 단면의 공간이다. 이 올다발의 올의 차원은 이다.[7]:§2 이는 다음과 같이 얻어진다.
설명 성분 계량 텐서 및 그 일반화 운동량 에너지 제약 및 그 게이지 조건 −2 운동량 제약 및 그 게이지 조건 계
역사 편집
리처드 루이스 아노윗(영어: Richard Lewis Arnowitt, 1928~2014) · 스탠리 데세르(폴란드어: Stanley Deser, 1931~) · 찰스 미스너(영어: Charles W. Misner, 1932~)가 1959년~1961년에 도입하였다.[8][9][10][11][12][13][14][15][16][17]
참고 문헌 편집
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