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미분위상수학에서, 엽층(葉層, 영어: foliation)은 매끄러운 다양체를 낮은 차원의 다양체들의 층으로 잘게 자른 것을 말한다.

정의편집

 차원 매끄러운 다양체   위의,  차원 잎으로의 엽층은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

  • 열린 덮개  
  • 매끄러운 사상  . 이 경우     사이의 미분 동형을 정의한다.

이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

  • 모든  에 대하여, 만약  이라면  은 다음과 같은 꼴이다.
     

 에 대하여,

 

 에 대응하는 엽층의 (영어: leaf)이라고 한다. 이는 정의에 따라  차원 다양체의 매끄러운 몰입을 이룬다. (이는 일반적으로 매장이 아니다.)

엽층이 주어진 매끄러운 다양체   위에서, 같은 잎에 속하는 점들을 동치라고 여기면, 이에 대한 몫공간엽공간(葉空間, 영어: leaf space)  을 정의할 수 있다. 이는 일반적으로 하우스도르프 공간이 아니다.

성질편집

 차원 매끄러운 다양체  접다발   차원 매끄러운 부분 벡터 다발  이 주어졌다고 하자. 프로베니우스 정리(영어: Frobenius theorem)에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • (적분 가능성 영어: integrability)  단면리 괄호에 대하여 닫혀 있다. 즉, 임의의 벡터장  에 대하여,  이다.
  • 임의의  에 대하여  가 되는 엽층  이 존재한다.

접다발의 매끄러운 부분 벡터 다발은 분포(영어: distribution)라고 한다. 즉, 적분 가능 분포는 엽층과 동치인 개념이다.

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올다발편집

올다발

 

이 주어졌다고 하고, 올  와 전체 공간  매끄러운 다양체라고 하자. 그렇다면 이는 엽층을 이룬다. 엽공간은  이며,  에 대응하는 잎은 원상  이다.

특수한 경우로, 곱공간  은 (자명한 올다발을 이루므로) 엽공간이  인 엽층을 이룬다.

리 군편집

리 군    사이에 단사 몰입

 

가 주어진다고 하자. 그렇다면,  는 엽층을 이룬다. 즉, 이 엽층에서 잎은   에 대한 잉여류이며, 엽공간은 몫공간  이다.

만약    속의 닫힌집합이라면, 몫공간  는 (하우스도르프) 매끄러운 다양체가 되며,   -주다발을 이룬다.

크로네커 엽층편집

원환면  에서, 잎들이

 

인 엽층을 주자 ( ). 이 경우, 기울기  의 성분들이 모두 유리수라면 각 잎들은 원환면 속의 매끄럽게 매장된 원을 이룬다. 그러나  을 제외한 성분들이 모두 무리수라면, 각 잎들은 매끄럽게 단사 몰입된 직선을 이룬다. 이 경우, 잎들은 매장된 부분 다양체가 아니라 몰입된 부분 다양체이다.

외부 링크편집

같이 보기편집