BRST 양자화

(BRST 대칭에서 넘어옴)

BRST 양자화(영어: BRST quantization) 또는 베키-루에-스토라-튜틴 양자화(영어: Becchi–Rouet–Stora–Tyutin quantization)는 게이지 이론양자화하는 한 방법이다. 게이지 이론은 비물리적인 대칭(게이지 대칭)을 지녀 그냥 양자화하기 어렵다. 게이지 대칭을 무시하고 그냥 양자화하면 그 힐베르트 공간이 양의 정부호의 내적을 얻지 못한다. 따라서 상태공간에 차수(grading)를 붙이고 코호몰로지를 만들어 물리적 힐베르트 공간을 얻는다.

역사

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카를로 베키(이탈리아어: Carlo Maria Becchi), 알랭 루에(프랑스어: Alain Rouet), 레몽 스토라(프랑스어: Raymond Félix Stora)[1][2], 러시아의 물리학자 이고리 빅토로비치 튜틴(러시아어: И́горь Ви́кторович Тю́тин)[3] 이 1970년대에 도입하였다.

전개

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게이지 이론의 상태공간  는 ℤ₂×ℝ차수가 붙은 벡터 공간 (graded vector space)을 이룬다. 여기서 ℤ₂는 반전성이고, ℝ은 유령수(영어: ghost number)다. 상태공간 위에 정의된 연산자도 마찬가지로 ℤ₂×ℝ차수가 붙어 있는데, 예를 들어 BRST 연산자  는 반전성   (홀수), 유령수 1을 가진다.

 이 유령수  을 가진 상태공간의 부분공간이라고 하자. 그러면  이다.  이므로, 이는 코호몰로지를 이룬다. 이를 BRST 코호몰로지라고 한다.

실재하는 상태는  의 코호몰로지, 즉 벡터 공간  의 원소다.

일반적 게이지 이론의 양자화

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일련의 장  와 게이지 대칭  를 생각하자. 이들이 리 대수

 

를 만족한다고 하자. 경로적분을 위하여 게이지 고정 조건  을 가하자. 원래 이론의 (게이지 고정 전) 작용이  이라고 하면, 이론의 경로적분은 다음과 같다.

 

여기서 새 작용은 다음과 같다.

 

여기서  ,  는 그라스만 장이다.

게이지 고정한 작용  는 다음과 같은 BRST 대칭을 만족한다.

 
 
 
 

여기서  은 그라스만 도움변수다. 이 연산자를  라고 부르자. 이는  을 만족한다. 따라서 실재하는 상태는  이다.

양-밀스 이론의 양자화

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리 대수  의 게이지군을 가진 양-밀스 이론을 생각하자. 즉 게이지장은  의 값을 지닌 장이다. 게이지 고정 조건  을 도입하자. 이렇게 하면 게이지장 밖에 파데예프-포포프 유령  가 필요하다. 여기에 보조장  를 추가하자.

그러면 작용은 다음과 같다.

 

여기에 BRST 연산자  를 다음과 같이 정의하자.

 
 
 
 

같이 보기

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각주

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  1. Becchi, C.; A. Rouet; R. Stora (1974년 10월 14일). “The abelian Higgs Kibble model, unitarity of the S-operator”. 《Physics Letters B》 (영어) 52 (3): 344–346. Bibcode:1974PhLB...52..344B. doi:10.1016/0370-2693(74)90058-6. 
  2. C. Becchi; A. Rouet; R. Stora (1976년 6월). “Renormalization of gauge theories”. 《Annals of Physics》 (영어) 98 (2): 287–321. Bibcode:1976AnPhy..98..287B. doi:10.1016/0003-4916(76)90156-1. 
  3. Tyutin, Igor V. (1975). “Gauge invariance in field theory and statistical physics in operator formalism”. arXiv:0812.0580. Bibcode:2008arXiv0812.0580T. 

참고 문헌

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