바탈린-빌코비스키 대수

이론물리학수학에서, 바탈린-빌코비스키 대수(영어: Batalin–Vilkovisky algebra)는 게이지 이론BRST 양자화할 때 등장하는 대수이다.[1][2][3][4][5]

정의편집

고차 미분 연산자편집

(단위원을 갖는) 정수 등급 가환 결합 대수

 
 

가 주어졌다고 하자. 이제, 왼쪽 곱셈 연산자

 

및 초괄호

 

를 정의할 수 있다. 초괄호는 또한 등급을 갖는 동차 연산자에 대해서도 정의될 수 있다.

이 위의 연산자

 
 

가 다음 두 조건을 만족시킨다면, 이를   등급 미분 연산자(영어:  th-order degree-  operator)라고 한다.

 
 

여기서 초괄호에서   로 간주한다.

예를 들어, 0차 미분 연산자의 경우

 

인 것이다. 1차 미분 연산자는

 

인 것이다. 즉,

 

이며, 이는 곱의 법칙이다.

홀수 등급 2차 미분 연산자  

 

를 만족시킨다.

거스틴해버 괄호편집

등급 가환 결합 대수

 

  위의 사슬 복합체 구조

 
 

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 일련의 괄호들을 정의할 수 있다.

 

이를  거스틴해버 괄호라고 한다. 예를 들어

 
 
 

이다. 그렇다면, 곱셈 구조를 잊으면,

 

L∞-대수를 이룬다.

물론, 만약   차 미분 연산자라면, 오직  만이 0이 아닐 수 있다.

바탈린-빌코비스키 대수에는 다음과 같은 거스틴해버 괄호(영어: Gerstenhaber bracket) 또는 반괄호(영어: antibracket)  를 정의할 수 있다.

 

이는 다음과 같은 성질들을 따른다.

  • (차수 −1)  
  • (등급가환성)  
  • (등급 야코비 항등식)  
  • (등급 라이프니츠 규칙)  

바탈린-빌코비스키 대수편집

바탈린-빌코비스키 대수  는 다음과 같은 데이터로 구성된다.[4]:§8

  • 등급 가환 결합 대수  
  •   위의 2차 −1등급 미분 연산자  . 이를 바탈린-빌코비스키 라플라스 연산자라고 한다.

게이지 이론의 양자화편집

바탈린-빌코비스키 대수는 게이지 이론양자화에 등장한다. 이 경우, 바탈린-빌코비스키 대수의 등급은 유령수(ghost number)가 된다.

게이지 이론이 장  와 고전적 작용  에 의해 정의된다고 하자. 또한, 이 이론에 다음과 같은 게이지 변환들이 존재한다고 하자.

 

여기서  는 게이지 변환 매개변수이다. 또한, 게이지 변환들 사이에 관계들이 있을 수 있다. 즉, 다음과 같은 꼴의 관계가 존재한다.

 

이다. 여기서  는 임의의 텐서이다. 즉, 일반적으로 게이지 이론은

  • 1차 게이지 변환  
  • 2차 게이지 변환  
  • 3차 게이지 변환  

등의 일련의 고차 게이지 변환들을 가진다.

그렇다면 바탈린-빌코비스키 양자화에서는 각 (고차) 게이지 변환  에 대응하는 유령장  을 정의한다. 유령장은 대응하는 게이지 변환의 통계와 반대 통계를 따른다. (즉, 일반적 게이지 변환의 경우 페르미온, 초대칭 게이지 변환의 경우 보손이다.) 유령장 및 물리적 장  에 대응하는 반대장(反對場, 영어: antifield)  ,  를 정의하자. 반대장들은 대응하는 장과 반대 통계를 따른다. 또한, 이들 장들에 유령수(幽靈數, 영어: ghost number)라는 차수를 붙인다. 물리적 장은 유령수 0,  차 게이지 변환에 대응하는 유령장은 유령수  , 그리고 유령수  에 대응하는 반대장은 유령수  을 가진다. 이를 표로 적으면 다음과 같다.

기호 통계   (+1: 보손, −1: 페르미온) 유령수  
물리적 장     (보손: +1, 페르미온: −1) 0
물리적 반대장     −1
유령장     (일반 대칭: −1, 초대칭: +1)  
유령 반대장      

즉, 장들은 유령수에 따라 등급대수를 이룬다.

Δ 연산자와 거스틴해버 괄호편집

모든 장들을 통칭해

 
 

로 적자. 장들의 등급대수에 다음과 같은 Δ 연산자를 정의할 수 있다.

 

또한, 거스틴해버 괄호는 다음과 같다.

 

이렇게 연산자들을 정의하면, 장들의 등급대수는 바탈린-빌코비스키 대수를 이룬다. 여기서   는 각각 좌·우미분이다.

고전 으뜸 방정식편집

고전적 작용  는 유령수 0의 원소이다. 게이지 고정을 하려면, 여기에 유령장 및 반대장들을 추가하여 다음과 같은 꼴로 교정하여야 한다.

 

여기서   개의 유령장의 곱을 포함하며, 그 유령수를 상쇄시키는 반대장들을 포함한다. 즉,  의 유령수는 0이다.

 

이렇게 교정된 작용  는 다음과 같은 고전 으뜸 방정식(영어: classical master equation)을 만족시킨다.

 

이로부터  를 완전히 계산할 수 있다. 이 경우, 이론의 BRST 대칭

 

의 꼴이다. 이 경우 자동적으로

 

이 된다. 작용은 유령수가 0이고 거스틴해버 괄호는 유령수가 1이므로, BRST 대칭은 유령수를 1만큼 증가시킨다.

 임을 쉽게 확인할 수 있다. 따라서, 이에 대한 코호몰로지

 

를 정의할 수 있다. 관측가능량들은 0차 BRST 코호몰로지  의 원소이다. 고전적인 연산자  가 주어지면, 여기에 유령장을 포함하는 항들을 추가하여, BRST 불변이게 만들어야 한다.

 
 

게이지 고정편집

유령항을 추가한 뒤, 경로 적분을 사용하려면 작용을 게이지 고정시켜야 한다. 이를 위해 유령수가 −1이고, 반대장들을 포함하지 않는 페르미온 연산자  를 선택하자. 이를 게이지 고정 페르미온(영어: gauge-fixing fermion)이라고 한다. 이러한 연산자가 주어지면, 작용에서 반대장을 다음과 같이 치환한다.[3]:§6[5]:§6.1

 

작용에서 반대장들을 이렇게 치환하게 되면, 게이지가 고정된다.

게이지 고정 페르미온은 &minus1;의 유령수를 가져야 하는데, 반대장이 아닌 장들은 모두 음이 아닌 유령수를 가진다. 이 때문에 이론에 음의 유령수를 가진 보조장들을 추가하여야 한다.[5]:§6.2

양자 으뜸 방정식편집

양자화를 하게 되면, 작용뿐만 아니라 경로 적분측도 또한 BRST 불변이어아 한다. 측도가 BRST 불변일 필요충분조건

 

이다.[3]:§6 예를 들어, 양-밀스 이론의 경우 이 조건이 성립한다.

만약 측도가 BRST 불변이 아니라면, 작용에 적절한 항들을 추가하여 이를 상쇄시켜야 한다. 이는 플랑크 상수  에 비례하게 된다. 즉,  으로 놓으면,

 

이다. 이에 대한 양자 으뜸 방정식(영어: quantum master equation)은

 

이다.[3]:§9 다음 표현은 위와 동치이다.

 

이다. 이를 전개하면

 
 
 

등등의 일련의 식들을 얻는다. 이 가운데 처음 방정식이 고전 으뜸 방정식이다.

피적분량  를 위와 같이 게이지 고정시켜 경로 적분한다고 하자. 이 적분이 게이지 고정 페르미온의 선택에 의존하지 않으려면, 그 바탈린-빌코비스키 라플라스 연산자가 0이어야 한다.[5]:§6.1 따라서, 연산자를 삽입하지 않은 경로 적분

 

를 고려하면 양자 으뜸 방정식

 

이 만족되어야 함을 알 수 있다. 연산자  가 삽입된 경로 적분의 경우, 마찬가지로

 

가 성립해야 한다. 이는 스토크스 정리와 유사하게 생각할 수 있다. 즉, 경로 공간(장들의 무한 차원 짜임새 공간) 위에서,  다중벡터(multivector)로 생각하자. 경로 적분의 측도  를 짜임새 공간 위의 미분형식으로 생각하면,  는 경로 공간 위의 미분형식이고, 그 외미분은 바탈린-빌코비스키 연산자  이다. 즉, Δ-코호몰로지에서는 부분적분에 따라, 임의의 부분공간   위의 적분은

 

이고, 또한 만약  이라면

 

 의 무한소 변화에 의존하지 않는다 (즉,  호몰로지류에만 의존한다). 게이지 이론의 양자화에서는  가 닫혀 있다면, 경로 적분은 게이지 고정의 변화에 의존하지 않는다.

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양-밀스 이론편집

로런츠 지표는  로, 게이지 리 대수 지표는  로 쓰자.

비가환 양-밀스 이론의 경우, 게이지장  는 다음과 같은 게이지 대칭을 가진다.

 

따라서, 이에 대응하는 반가환 유령장   및 반대장  ,  가 존재한다. 작용

 

에 유령항들을 추가하면 다음과 같은 BRST 불변 작용을 얻는다.[5]:§5.2

 

게이지 고정을 위해, 유령수 −1의 페르미온  와 유령수 0의 보손  를 추가하고, 작용에 다음과 같은 보조장항을 더하자.[3]:§6

 

그렇다면 게이지 고정 페르미온

 

를 삽입한다. 여기서  는 임의의 상수다. 이렇게 하여 반대장들을 치환하면, 다음과 같은 게이지 고정 작용을 얻는다.

 
기호 통계 유령수
게이지 장   + 0
게이지 반대장   −1
유령장   1
유령 반대장   + −2
보조장   + 0
보조 반대장   −1
보조 유령장   −1
보조 유령 반대장   + 0

미분형식 전기역학편집

p미분형식 전기역학의 경우, p차 미분형식 게이지 퍼텐셜  는 다음과 같은 게이지 변환들을 가진다.

 
 
 

여기서   미분형식이다. 따라서, 다음과 같은 유령장들과 반대장들이 존재한다.

기호 통계 유령수
게이지 장   + 0
유령장   pk
게이지 반대장   −1
유령 반대장   + kp−1

유령항을 추가한 작용은 다음과 같다.[5]:§5.5

 

역사편집

이고리 아니톨리예비치 바탈린(러시아어: И́горь Анато́льевич Бата́лин)과 그리고리 알렉산드로비치 빌코비스키(러시아어: Григо́рий Александро́вич Вилковы́ский)가 초중력을 양자화하기 위해 도입하였다.[6][7] 이후 바탈린-빌코비스키 양자화는 닫힌 끈 장론 등을 양자화하는 데 쓰였다.

같이 보기편집

참고 문헌편집

  1. Henneaux, Marc; Claudio Teitelboim (1992). 《Quantization of Gauge Systems》 (영어). Princeton University Press. 
  2. Barnich, Glenn; Friedemann Brandt, Marc Henneaux (2000년 11월). “Local BRST cohomology in gauge theories”. 《Physics Reports》 (영어) 338 (5): 439–569. arXiv:hep-th/0002245. Bibcode:2000PhR...338..439B. doi:10.1016/S0370-1573(00)00049-1. MR 1792979. 
  3. Fuster, Andrea; Marc Henneaux, Axel Maas (2005년 10월). “BRST-antifield quantization: a short review”. 《International Journal of Geometric Methods in Modern Physics》 (영어) 2 (5): 939–963. arXiv:hep-th/0506098. Bibcode:2005hep.th....6098F. doi:10.1142/S0219887805000892. 
  4. Fiorenza, Domenico (2004). “An introduction to the Batalin–Vilkovisky formalism” (영어). arXiv:math/0402057. Bibcode:2004math......2057F. 
  5. Gomis, Joaquim; Jordi Paris, Stuart Samuel (1995년 8월). “Antibracket, antifields and gauge-theory quantization”. 《Physics Reports》 (영어) 259 (1): 1–145. arXiv:hep-th/9412228. Bibcode:1995PhR...259....1G. doi:10.1016/0370-1573(94)00112-G. 
  6. Batalin, I. A.; G. A. Vilkovisky (1981년 6월 4일). “Gauge algebra and quantization”. 《Physics Letters B》 (영어) 102 (1): 27–31. Bibcode:1981PhLB..102...27B. doi:10.1016/0370-2693(81)90205-7. 
  7. Batalin, I. A.; G. A. Vilkovisky (1983년 11월 15일). “Quantization of gauge theories with linearly dependent generators”. 《Physical Review D》 (영어) 28 (10): 2567–2582. Bibcode:1983PhRvD..28.2567B. doi:10.1103/PhysRevD.28.2567.  오류 정정 Batalin, I. A.; G. A. Vilkovisky (1984년 7월 15일). “Erratum: Quantization of gauge theories with linearly dependent generators”. 《Physical Review D》 (영어) 30 (2): 508–508. Bibcode:1984PhRvD..30..508B. doi:10.1103/PhysRevD.30.508. 

외부 링크편집