C∞ -대수는 두 가지로 정의될 수 있으며, 이 두 정의는 코바 구성(영어 : cobar construction )에 의하여 서로 동치 이다.
정의 1
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표수 0의 체 위의 A∞ -대수
(
A
,
(
m
i
)
i
∈
Z
+
)
{\displaystyle (A,(m_{i})_{i\in \mathbb {Z} ^{+}})}
∞ -대수가 다음 조건을 만족시킨다면, 이를 C∞ -대수 라고 한다.
m
p
+
q
(
sh
(
x
1
⊗
⋯
⊗
x
p
,
y
1
⊗
⋯
⊗
y
q
)
)
=
0
{\displaystyle m_{p+q}(\operatorname {sh} (x_{1}\otimes \dotsb \otimes x_{p},y_{1}\otimes \dotsb \otimes y_{q}))=0}
여기서
sh
(
x
1
⊗
⋯
⊗
x
p
,
x
p
+
1
⊗
⋯
⊗
y
p
+
q
)
=
∑
σ
∈
Sh
(
p
,
q
)
±
(
−
)
σ
x
σ
(
1
)
⊗
⋯
⊗
σ
σ
(
p
+
q
)
{\displaystyle \operatorname {sh} (x_{1}\otimes \dotsb \otimes x_{p},x_{p+1}\otimes \dotsb \otimes y_{p+q})=\sum _{\sigma \in \operatorname {Sh} (p,q)}\pm (-)^{\sigma }x_{\sigma (1)}\otimes \dotsb \otimes \sigma _{\sigma (p+q)}}
는 모든
(
p
,
q
)
{\displaystyle (p,q)}
셔플 순열 에 대한 합이다. 위 식에서,
(
−
)
σ
{\displaystyle (-)^{\sigma }}
Sym
(
n
)
→
{
±
1
}
{\displaystyle \operatorname {Sym} (n)\to \{\pm 1\}}
±
{\displaystyle \pm }
a
,
b
{\displaystyle a,b}
(
−
)
deg
a
deg
b
{\displaystyle (-)^{\deg a\deg b}}
즉, 처음 두 개의 공리는 다음과 같다.
m
2
(
a
,
b
)
=
(
−
)
deg
a
deg
b
m
2
(
b
,
a
)
=
0
{\displaystyle m_{2}(a,b)=(-)^{\deg a\deg b}m_{2}(b,a)=0}
m
3
(
a
,
b
,
c
)
+
(
−
)
1
+
deg
b
deg
c
m
3
(
a
,
c
,
b
)
+
(
−
)
deg
c
(
deg
a
+
deg
b
)
m
3
(
c
,
a
,
b
)
=
0
{\displaystyle m_{3}(a,b,c)+(-)^{1+\deg b\deg c}m_{3}(a,c,b)+(-)^{\deg c(\deg a+\deg b)}m_{3}(c,a,b)=0}
정의 2
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표수 0의 체 위의 정수 등급 벡터 공간
V
{\displaystyle V}
자유 리 대수
L
(
V
[
1
]
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}(V[1])}
D
:
L
(
V
)
→
L
(
V
)
{\displaystyle \mathrm {D} \colon {\mathcal {L}}(V)\to {\mathcal {L}}(V)}
D
2
=
0
{\displaystyle \mathrm {D} ^{2}=0}
D
[
a
,
b
]
=
[
D
a
,
b
]
+
(
−
)
deg
a
[
a
,
D
b
]
{\displaystyle \mathrm {D} [a,b]=[\mathrm {D} a,b]+(-)^{\deg a}[a,\mathrm {D} b]}
가 주어졌다고 하자. 그렇다면,
(
V
∗
,
D
)
{\displaystyle (V^{*},D)}
C∞ -대수 라고 한다.
0
=
m
3
=
m
4
=
m
5
=
⋯
{\displaystyle 0=m_{3}=m_{4}=m_{5}=\dotsb }
∞ -대수의 개념은 가환 미분 등급 대수 의 개념과 동치 이다.
토르니케 카데이슈빌리(조지아어 : თორნიკე კადეიშვილი )가 1988년에 도입하였다.[2]
참고 문헌
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↑ Loday, Jean-Louis ; Vallette, Bruno. 《Algebraic Operads》 (영어). Springer-Verlag. ↑ Kadeishvili, Tornike (1988). “The A∞ -algebra structure and cohomology of Hochschild and Harrison”. 《Proceedings of Tbilisi Mathematical Institute》 (영어) 91 : 19–27.
외부 링크
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![{\displaystyle {\mathcal {L}}(V[1])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/821c72a0f2aea058c00113c831b08634f70d8029)
![{\displaystyle \mathrm {D} [a,b]=[\mathrm {D} a,b]+(-)^{\deg a}[a,\mathrm {D} b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/310e96901982d0100631bf706a10c42445e4babc)
