자유 리 대수

리 군론에서, 자유 리 대수(自由Lie代數, 영어: free Lie algebra)는 리 대수의 범주의 자유 대상이다. 즉, 야코비 항등식리 대수의 정의에 속하는 관계 밖의 다른 특별한 관계를 갖지 않는 리 대수이다.

정의편집

가환환   위의 리 대수의 모임은 대수 구조 다양체이므로, 주어진 집합   위의   계수의 자유 리 대수  를 정의할 수 있다. 즉, 범주론적으로 리 대수의 범주  에서 집합의 범주  로 가는 망각 함자

 

왼쪽 수반 함자  이 존재하며,

 

집합  로부터 생성되는 자유 리 대수는 이 함자  이다.

  위의 자유 리 대수는 구체적으로 다음과 같이 묘사할 수 있다. 집합   위의 자유 리 대수를  라고 하고,   위의 자유 단위 결합 대수(=텐서 대수, 비가환 다항식 대수)를  라고 하자. 그렇다면  는 자연스럽게  의 부분 집합을 이루며,   보편 포락 대수이다.    속의,  로 생성되는 부분 리 대수이다.

체 위의 자유 리 대수는 자연스럽게 자연수 등급 리 대수를 이룬다. 여기서 등급은 린든 기저에 대응하는 린든 문자열의 길이(즉, 리 대수의 원소를 생성하기 위한 최소의 항의 수)와 같다.

성질편집

차원편집

집합  에 의하여 생성되는 체   계수의 자유 리 대수를 생각하자. 만약  공집합이라면,  는 0차원 리 대수이다. 만약  한원소 집합이라면,  는 1차원 아벨 리 대수이다. 만약  집합의 크기가 2 이상이라면,  는 무한 차원 리 대수이다. 구체적으로, 다음과 같다.

 

자유 리 대수의 부분 리 대수편집

시르쇼프-비트 정리(Ширшов-Witt定理, 영어: Shirshov–Witt theorem)에 따르면, 자유 리 대수의 모든 부분 리 대수는 자유 리 대수이다.[1][2]

구체적 기저편집

체 위의 자유 리 대수의 기저는 구체적으로 린든 단어(영어: Lyndon word)로 주어진다. 크기가  인, 전순서가 주어진 알파벳   위의 길이  의 문자열  에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 문자열을 린든 단어라고 한다.

  •  의 모든 회전  들을 생각하자. 그렇다면,  는 문자열 집합   가운데 사전식 순서에 대하여 유일한 최소 원소이다.
  • 임의의 문자열  에 대하여  라고 한다면, 사전식 순서 아래 항상  이다.

따라서, 임의의 린든 단어  는 더 짧은 두 린든 단어  를 이은 것이다. 더 짧은 린든 단어로의 분해  에 대하여,  가 가장 긴 경우를 표준 분해(영어: standard factorization)라고 한다.

유한 집합   위의, 길이가 1 이상인 린든 단어의 집합은 자유 리 대수  의 어떤 기저와 표준적으로 일대일 대응하며, 이 기저를 린든 기저(영어: Lyndon basis)라고 한다. 린든 단어  에 대응하는 린든 기저 벡터  는 다음과 같다.

  • 만약  의 길이가 1이라면,  
  • 만약  의 길이가 2 이상이며, 그 표준 분해가  라면,  

예를 들어, 알파벳   위의 린든 단어들은 다음과 같다.

ε, 0, 1, 01, 001, 011, 0001, 0011, 0111, 00001, 00011, 00101, 00111, 01011, 01111, ...

(ε는 길이 0의 문자열이며, 이는 린든 기저에 포함되지 않는다.)

크기   위의 알파벳 위의, 길이  의 린던 단어의 수는 목걸이 다항식

 

로 주어진다. ( 뫼비우스 함수이다.) 즉,  개의 원소로 생성되는 자유 리 대수의, 등급   부분 공간의 차원은  이다.

참고 문헌편집

  1. Ширшов, А. И. (1953). “Подалгебры свободных лиевых алгебр”. 《Математический сборник》 (러시아어) 33 (75): 441–452. MR 0059892. 
  2. Witt, Ernst (1956). “Die Unterringe der freien Lieschen Ringe”. 《Mathematische Zeitschrift》 (독일어) 64: 195–216. doi:10.1007/BF01166568. ISSN 0025-5874. MR 0077525. 

외부 링크편집

같이 보기편집