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결정의 대칭군은 정이면체군 이다.
은 정팔각형의 대칭군이다.

군론에서, 정이면체군(正二面體群, 영어: dihedral group)은 정다각형대칭군유한군이다.

정의편집

 아벨 군이라고 하자. 일반화 정이면체군(영어: generalized dihedral group)  는 다음과 같은 반직접곱이다.

 

여기서  는 크기가 2인 유일한 이며, 군의 작용  는 다음과 같다.

 
 

정이면체군

 

순환군  에 대한 일반화 정이면체군이다. 무한 정이면체군(영어: infinite dihedral group)

 

무한 순환군  에 대한 일반화 정이면체군이다.

표시편집

정이면체군  은 다음과 같은 표시를 갖는다.

 

정이면체군  은 간혹  이나  으로 쓰기도 한다.

무한 정이면체군  은 다음과 같은 표시를 갖는다.

 

성질편집

일반화 정이면체군편집

일반적으로, 일반화 정이면체군  의 크기는  의 크기의 두 배이다.

일반화 정이면체군  의 원소들은 모두   또는  의 꼴이다 ( ). 이 경우,   꼴의 원소들의 집합은  와 동형인  지표가 2인 정규부분군을 이루며,   꼴의 원소들은 모두 위수가 2이다. 즉,  이다.

 켤레류들은 다음과 같은 꼴이다. 모든  에 대하여,

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유한 정이면체군편집

평면에서,  각형대칭군 이다. 여기서, 군의 표시에서  는 (반시계방향으로)   라디안 회전 대칭에,  는 고정된 축에 대한 반사 대칭에 대응된다.

정이면체군  은 총  개의 원소를 가진다. 이들은 위의 표시에 따라서 다음과 같다.

 

작은 정이면체군들은 다음과 같다.

다른 이름
  자명군 0
  2차 순환군  
  클라인 4원군  
  대칭군  
   

 인 경우,  아벨 군이 아니다.

무한 정이면체군편집

무한 정이면체군  는 정수의 집합  대칭군이다.

무한 정이면체군  는 다음과 같은 자유곱으로 나타낼 수 있다.

 

참고 문헌편집

외부 링크편집

같이 보기편집