이론물리학 에서 R대칭 (R對稱, 영어 : R -symmetry초대칭 생성원(초전하)들을 섞는 (보손) 대칭이다. 가장 간단한 (
N
=
1
{\displaystyle {\mathcal {N}}=1}
U(1) 이지만, 확장 초대칭의 경우 아벨 군 이 아닐 수 있다.
시공간 대칭
L
{\displaystyle L}
(
p
,
q
)
{\displaystyle (p,q)}
민코프스키 공간 에서, 이는 푸앵카레 대칭
ISO
(
p
,
q
)
{\displaystyle \operatorname {ISO} (p,q)}
반 더 시터르 공간 이나 등각 장론 에서는 이는
SO
(
p
+
1
,
q
+
1
)
{\displaystyle \operatorname {SO} (p+1,q+1)}
이 위에 초대칭 이론을 정의한다고 하자. 그렇다면, 초대칭 의 리 초대수
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
g
0
{\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}
콜먼-맨듈라 정리 및 하크-워푸샨스키-조니우스 정리 등에 따라서, 이는 일반적으로
g
0
=
Lie
(
L
)
⊕
r
{\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}=\operatorname {Lie} (L)\oplus {\mathfrak {r}}}
의 꼴이다. 즉, 시공간 대칭과 가환하는 대칭의 리 대수
r
{\displaystyle {\mathfrak {r}}}
R대칭 이라고 한다.
스피너 표현이 실수 또는 복소수 또는 사원수 표현인지 여부에 따라서, R대칭군은 각각 직교군 또는 유니터리 군 또는 심플렉틱 군 이 된다. 구체적으로, 시공간 부호수
(
p
,
q
)
{\displaystyle (p,q)}
(
p
−
q
)
mod
8
{\displaystyle (p-q){\bmod {8}}}
스피너 종류
R대칭
0
마요라나-바일
SO
(
N
)
{\displaystyle \operatorname {SO} ({\mathcal {N}})}
±1
마요라나
SO
(
N
)
{\displaystyle \operatorname {SO} ({\mathcal {N}})}
±2
마요라나, 바일
U
(
N
)
{\displaystyle \operatorname {U} ({\mathcal {N}})}
±3
디랙
USp
(
N
)
{\displaystyle \operatorname {USp} ({\mathcal {N}})}
4
(심플렉틱-마요라나) 바일
USp
(
N
)
{\displaystyle \operatorname {USp} ({\mathcal {N}})}
물론, 이 가운데 일부는 상호 작용에 의하여 깨지거나 게이지 대칭 이 될 수 있다.
민코프스키 공간 위의 초대칭 이론 (특히 양-밀스 이론 )의 R대칭군은 다음과 같다.
시공간 차원초대칭 수(𝒩)
R대칭군
주석
(1,1)
(2,2)
U(1)A ×U(1)V
물질에 따라서 U(1)A 또는 U(1)V 둘 다 변칙을 겪을 수 있음
(2,1)
4
SO(4) = SU(2)×SU(2)
(3,1)
1
U(1)
(3,1)
2
SU(2)
U(1) 성분은 변칙 적으로
Z
4
N
c
{\displaystyle \mathbb {Z} _{4N_{\text{c}}}}
S
U
(
N
c
)
{\displaystyle SU(N_{\text{c}})}
(3,1)
4
SU(4)
(5,1)
(1,0)
USp(2) = SU(2)
(5,1)
(1,1)
USp(2)×USp(2) = SU(2)×SU(2)
(5,1)
(2,0)
USp(4) = Spin(5)[ 2]
이들 가운데 일부는 다음과 같이 기하학적으로 해석할 수 있다.
4차원
N
=
4
{\displaystyle {\mathcal {N}}=4}
의 SU(4) =Spin(6) R대칭군은 AdS/CFT 대응성 을 통해, 반 더 시터르 공간 의 등거리군으로 설명할 수 있다. 또한, 4차원
N
=
4
{\displaystyle {\mathcal {N}}=4}
N
=
1
{\displaystyle {\mathcal {N}}=1}
축소화 하여 얻으며, 이에 따라 Spin(6)=SU(4)를 얻는다.6차원
N
=
(
1
,
1
)
{\displaystyle {\mathcal {N}}=(1,1)}
N
=
1
{\displaystyle {\mathcal {N}}=1}
6차원
N
=
(
2
,
0
)
{\displaystyle {\mathcal {N}}=(2,0)}
의 경우, M5-막 위에 존재한다. 따라서, 11차원 M이론 을 사용하여, M5-막에 수직인 5개의 차원으로부터 R대칭 Spin(5)=USp(4)를 얻는다.3차원
N
=
4
{\displaystyle {\mathcal {N}}=4}
N
=
1
{\displaystyle {\mathcal {N}}=1}
축소화 하여 얻을 수 있다. 이 경우, 6차원
N
=
1
{\displaystyle {\mathcal {N}}=1}
SU(2) R대칭이 추가로 발생한다. 따라서 총 R대칭은 Spin(4)=SU(2)×SU(2)이다. 실수 단순 리 초대수 가운데, 그 보손 부분 대수가
o
(
p
,
q
)
⊕
{\displaystyle {\mathfrak {o}}(p,q)\oplus }
의 꼴인 것들은 다음이 있다.
리 대수
시공간 부호수
R대칭
리 대수
시공간 부호수
R대칭
s
u
(
2
,
2
|
N
)
{\displaystyle {\mathfrak {su}}(2,2|{\mathcal {N}})}
(4,2)
s
u
(
N
)
⊕
R
{\displaystyle {\mathfrak {su}}({\mathcal {N}})\oplus \mathbb {R} }
p
s
u
(
2
,
2
|
4
)
{\displaystyle {\mathfrak {psu}}(2,2|4)}
(4,2)
s
u
(
4
)
{\displaystyle {\mathfrak {su}}(4)}
s
u
(
4
|
N
)
{\displaystyle {\mathfrak {su}}(4|{\mathcal {N}})}
(6,0)
s
u
(
N
)
⊕
R
{\displaystyle {\mathfrak {su}}({\mathcal {N}})\oplus \mathbb {R} }
p
s
u
(
4
|
4
)
{\displaystyle {\mathfrak {psu}}(4|4)}
(6,0)
s
u
(
4
)
{\displaystyle {\mathfrak {su}}(4)}
s
u
(
2
|
N
)
{\displaystyle {\mathfrak {su}}(2|{\mathcal {N}})}
(3,0)
s
u
(
N
)
⊕
R
{\displaystyle {\mathfrak {su}}({\mathcal {N}})\oplus \mathbb {R} }
p
s
u
(
2
|
2
)
{\displaystyle {\mathfrak {psu}}(2|2)}
(3,0)
s
u
(
2
)
{\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}
s
u
(
1
,
1
|
N
)
{\displaystyle {\mathfrak {su}}(1,1|{\mathcal {N}})}
(2,1)
s
u
(
N
)
⊕
R
{\displaystyle {\mathfrak {su}}({\mathcal {N}})\oplus \mathbb {R} }
p
s
u
(
1
,
1
|
2
)
{\displaystyle {\mathfrak {psu}}(1,1|2)}
(2,1)
s
u
(
2
)
{\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}
o
s
p
(
N
|
4
;
R
)
{\displaystyle {\mathfrak {osp}}({\mathcal {N}}|4;\mathbb {R} )}
(3,2)
o
(
N
)
{\displaystyle {\mathfrak {o}}({\mathcal {N}})}
o
s
p
(
N
|
2
;
R
)
{\displaystyle {\mathfrak {osp}}({\mathcal {N}}|2;\mathbb {R} )}
(2,1)
o
(
N
)
{\displaystyle {\mathfrak {o}}({\mathcal {N}})}
o
s
p
(
4
|
2
,
α
)
{\displaystyle {\mathfrak {osp}}(4|2,\alpha )}
(2,1)
o
(
4
)
{\displaystyle {\mathfrak {o}}(4)}
f
(
4
)
{\displaystyle {\mathfrak {f}}(4)}
(2,1)
o
(
7
)
{\displaystyle {\mathfrak {o}}(7)}
f
(
4
)
{\displaystyle {\mathfrak {f}}(4)}
(3,0)
o
(
7
)
{\displaystyle {\mathfrak {o}}(7)}
f
(
4
)
{\displaystyle {\mathfrak {f}}(4)}
(
7
−
p
,
p
)
{\displaystyle (7-p,p)}
s
u
(
2
)
{\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}
g
(
3
)
{\displaystyle {\mathfrak {g}}(3)}
(2,1)
g
2
{\displaystyle {\mathfrak {g}}_{2}}
이들은 초등각 장론 또는 이에 대응하는 반 더 시터르 공간 이나 더 시터르 공간 위의 초대칭 이론에서 사용된다.[ 3]
↑ Labastida, Jose; Mariño, Marcos. 《Topological quantum field theories and four manifolds》. Mathematical Physics Studies (영어) 25 . Springer. doi :10.1007/1-4020-3177-7 . ISBN 978-1-4020-3058-1 ISSN 0921-3767 . ↑ “보관된 사본” (PDF) . 2016년 3월 4일에 원본 문서 (PDF) 에서 보존된 문서. 2015년 5월 15일에 확인함 . ↑ Berkovits, N.; Bershadsky, M.; Hauer, T.; Zhukov, S.; Zwiebach, B. (2000). “Superstring theory on AdS2 × S2 as a coset supermanifold”. 《Nuclear Physics B》 (영어) 567 : 61–86. arXiv :hep-th/9907200 .
