리 초대수

리 대수 이론에서, 리 초대수(Lie 超代數, 영어: Lie superalgebra)는 리 대수에 $\mathbb {Z} /(2)$ 등급을 주어 일반화한 수학적 구조다. 초대칭이나 BRST 대칭 따위를 수학적으로 다룰 때 쓰인다.

정의

가환환 $K$ 가 주어졌다고 하자. $K$ -리 초대수는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

두 $K$ -가군 ${\mathfrak {g}}_{0}$ , ${\mathfrak {g}}_{1}$ . 또한, ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{0}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}$ 로 표기하자. ${\mathfrak {g}}$ 는 $\mathbb {Z} /(2)=\{0,1\}$ -등급 가군으로 여긴다. 순수 성분의 등급은 $\deg x\in \{0,1\}$ 로 표기하자.
$K$ -쌍선형 연산 $[-,-]\colon {\mathfrak {g}}\otimes _{K}{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}$ (일부 문헌에서 이는 $[-,-\}$ 로 표기되기도 한다).

이는 다음 공리들을 만족시켜야 한다. (이는 일반적인 $K$ -리 대수의 공리를 등급을 고려하여 일반화한 것이다.)

(리 괄호의 등급) $\deg[x,y]=(\deg x+\deg y){\bmod {2}}\qquad \forall x,y\in ({\mathfrak {g}}_{0}\cup {\mathfrak {g}}_{1})\setminus \{0\}$
(반대칭성) $[x,y]+(-1)^{\deg x\deg y|}[y,x]=0\qquad \forall x,y\in ({\mathfrak {g}}_{0}\cup {\mathfrak {g}}_{1})\setminus \{0\}$
(야코비 항등식) $(-1)^{\deg z\deg x}[x,[y,z]]+(-1)^{\deg x\deg y}[y,[z,x]]+(-1)^{\deg y\deg z}[z,[x,y]]=0\qquad \forall x,y,z\in ({\mathfrak {g}}_{0}\cup {\mathfrak {g}}_{1})\setminus \{0\}$
$[x,x]=0\qquad \forall x\in {\mathfrak {g}}_{0}$
$[x,[x,x]]=0\qquad \forall x\in {\mathfrak {g}}_{1}$

여기서, 넷째 공리는 만약 $K$ 에서 2가 가역원일 경우 자동으로 반대칭성으로부터 유도되며, 다섯째 공리는 만약 $K$ 에서 3이 가역원일 경우 자동으로 야코비 항등식으로부터 유도된다. 즉, 예를 들어 $K$ 가 표수가 2 또는 3이 아닌 체일 경우 이들을 생략할 수 있다.

성질

가군으로서, 리 초대수 ${\mathfrak {g}}$ 는 그 등급이 0(보손)인 부분 가군 ${\mathfrak {g}}_{0}$ 과 등급이 1(페르미온)인 부분 가군 ${\mathfrak {g}}_{1}$ 의 직합이다. 이렇게 분해하면, ${\mathfrak {g}}_{0}$ 는 리 대수를 이루고, ${\mathfrak {g}}_{1}$ 은 ${\mathfrak {g}}_{0}$ 의 표현을 이룬다. 또한, ${\mathfrak {g}}_{1}$ 은 다음과 같은 가환 비결합 괄호

\{\cdot ,\cdot \}\colon {\mathfrak {g}}_{1}\otimes {\mathfrak {g}}_{1}\to {\mathfrak {g}}_{0}

를 가진다.

단순 리 초대수

자명하지 않은 아이디얼을 갖지 않는 리 초대수를 단순 리 초대수라고 하며, 이들은 모두 분류되었다.

예

아벨 초대수

가환환 $K$ 위의 임의의 두 가군 ${\mathfrak {g}}_{0}$ 및 ${\mathfrak {g}}_{1}$ 이 주어졌을 때, 리 초괄호

[x,y]=0\qquad \forall x,y\in {\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{0}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}

을 주면, ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{0}\oplus {\mathfrak {g}}_{q}$ 은 리 초대수를 이룬다. 이를 아벨 리 초대수(Abel Lie超代數, 영어: Abelian Lie superalgebra)라고 한다.

일반·특수 선형 초대수

$(m|n)\times (m|n)$ 초행렬은 다음과 같은 꼴의 행렬이다.

{\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}

여기서 $A$ 는 $m\times m$ 이고, $B$ 는 $n\times n$ 이다. $(m|n)\times (m|n)$ 초행렬의 모임을 일반 선형 초대수 (general linear Lie superalgebra) ${\mathfrak {gl}}(m|n)$ 이라고 쓰자. 초행렬의 초대각합(超對角合, 영어: supertrace)은 다음과 같다.^[1]^:§25

\operatorname {str} {\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}=\operatorname {tr} A-\operatorname {tr} D

응용

리 초대수는 이론물리학에서 쓰인다. (푸앵카레) 초대칭에서는 짝수 등급이 보존을, 홀수 등급이 페르미온을 나타낸다. 그러나 BRST에서는 그 반대다.

BRST 대칭

게이지 이론은 BRST 대칭이라는 대칭을 지닌다. BRST 초대수는 0|1차원 초대수이며, 그 페르미온 생성원 $Q$ 의 초괄호는 다음과 같다.

\{Q,Q\}=0

즉, 이는 멱영(영어: nilpotent) 리 초대수이다.

초대칭

초대칭 이론들은 시공간의 대칭들과 초대칭들을 포함하는 리 초대수를 대칭으로 가진다. 이들 대수의 보손 생성원은 푸앵카레 군과 R대칭에 해당하고, 페르미온 생성원은 초대칭에 해당한다.

만약 이론이 초대칭과 등각 대칭을 둘 다 가질 경우, 이 두 대칭군은 초등각 대칭군이라는 하나의 초군을 생성시킨다. 대표적으로, 4차원 민코프스키 ${\mathcal {N}}=4$ 초등각 대칭군은 단순초군 $PSU(2,2|4)$ 이다. 이 초군은 AdS/CFT 대응성에서 등장한다.

역사

펠릭스 알렉산드로비치 베레진(러시아어: Фе́ликс Алекса́ндрович Бере́зин)과 게오르기 이사코비치 카츠(러시아어: Георгий Исаакович Кац)가 1970년에 도입하였다.^[2]

같이 보기

각주

↑ Frappat, L.; A. Sciarrino, P. Sorba (1996년 7월). “Dictionary on Lie superalgebras” (영어). arXiv:hep-th/9607161. Bibcode:1996hep.th....7161F.
↑ Березин, Феликс Александрович; Кац, Георгий Исаакович (1970). “Группы Ли с коммутирующими и антикоммутирующими параметрами”. 《Математический сборник》 (러시아어) 82 (3): 343–351. MR 265520. Zbl 0244.22014.

Musson, Ian M. (2012). 《Lie Superalgebras and Enveloping Algebras》 (영어). Graduate Studies in Mathematics 131. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-6867-6. MR 2906817. Zbl 1255.17001. ^{[깨진 링크(과거 내용 찾기)]}
Cheng, Shun-Jen; Weiqiang Wang (2010년 1월). “Dualities for Lie superalgebras” (영어). arXiv:1001.0074. Bibcode:2010arXiv1001.0074C.
Leites, D. A. (1985년 9월). “Lie superalgebras”. 《Journal of Soviet Mathematics》 (영어) 30 (6): 2481–2512. doi:10.1007/BF02249121. ISSN 0090-4104.
Kac, Victor G. (1977년 10월). “Lie superalgebras”. 《Advances in Mathematics》 (영어) 26 (1): 8–96. doi:10.1016/0001-8708(77)90017-2. ISSN 0001-8708. MR 0486011.
Kac, Victor G. (1977년 2월). “A sketch of Lie superalgebra theory”. 《Communications in Mathematical Physics》 (영어) 53 (1): 31–64. Bibcode:1977CMaPh..53...31K. doi:10.1007/BF01609166. ISSN 0010-3616. MR 0442049. Zbl 0359.17009.
Ramond, Pierre (2010년 5월). 《Group theory: a physicist’s survey》 (영어). Cambridge University Press. ISBN 9780521896030. MR 2663568. Zbl 1205.20001.
Rittenberg, V. (1978). 〈A guide to Lie superalgebras〉. 《Group theoretical methods in physics: Sixth International Colloquium, Tübingen, 1977》. Lecture Notes in Physics (영어) 79. Springer. 3–21쪽. doi:10.1007/3-540-08848-2_1. ISBN 978-3-540-08848-6. ISSN 0075-8450. 2015년 6월 23일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 6월 23일에 확인함.

외부 링크

“Super Lie algebra”. 《nLab》 (영어).
“Supergroup”. 《nLab》 (영어).
“Super-translation group”. 《nLab》 (영어).
“General linear supergroup”. 《nLab》 (영어).
“Orthosymplectic super Lie algebra”. 《nLab》 (영어).
Ridout, David (2011년 4월 29일). “A (gentle) introduction to Lie superalgebras” (PDF) (영어). 2015년 3월 28일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2015년 6월 22일에 확인함.

[FS-1] Frappat, L.; A. Sciarrino, P. Sorba (1996년 7월). “Dictionary on Lie superalgebras” (영어). arXiv:hep-th/9607161. Bibcode:1996hep.th....7161F.

[2] Березин, Феликс Александрович; Кац, Георгий Исаакович (1970). “Группы Ли с коммутирующими и антикоммутирующими параметрами”. 《Математический сборник》 (러시아어) 82 (3): 343–351. MR 265520. Zbl 0244.22014.

[1]

[2]