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리 대수 이론에서, 리 초대수(Lie 超代數, 영어: Lie superalgebra)는 리 대수 등급을 주어 일반화한 수학적 구조다. 초대칭이나 BRST 대칭 따위를 수학적으로 다룰 때 쓰인다.

목차

정의편집

가환환  가 주어졌다고 하자.  -리 초대수는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

  •  -가군  ,  . 또한,  로 표기하자.   -등급 가군으로 여긴다. 순수 성분의 등급은  로 표기하자.
  •  -쌍선형 연산   (일부 문헌에서 이는  로 표기되기도 한다).

이는 다음 공리들을 만족시켜야 한다. (이는 일반적인  -리 대수의 공리를 등급을 고려하여 일반화한 것이다.)

  • (리 괄호의 등급)  
  • (반대칭성)  
  • (야코비 항등식)  
  •  
  •  

여기서, 넷째 공리는 만약  에서 2가 가역원일 경우 자동으로 반대칭성으로부터 유도되며, 다섯째 공리는 만약  에서 3이 가역원일 경우 자동으로 야코비 항등식으로부터 유도된다. 즉, 예를 들어  표수가 2 또는 3이 아닌 일 경우 이들을 생략할 수 있다.

성질편집

가군으로서, 리 초대수  는 그 등급이 0(보손)인 부분 가군  과 등급이 1(페르미온)인 부분 가군  직합이다. 이렇게 분해하면,  리 대수를 이루고,   표현을 이룬다. 또한,  은 다음과 같은 가환 비결합 괄호

 

를 가진다.

단순 리 초대수편집

자명하지 않은 아이디얼을 갖지 않는 리 초대수를 단순 리 초대수라고 하며, 이들은 모두 분류되었다.

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아벨 초대수편집

가환환   위의 임의의 두 가군   이 주어졌을 때, 리 초괄호

 

을 주면,  은 리 초대수를 이룬다. 이를 아벨 리 초대수(Abel Lie超代數, 영어: Abelian Lie superalgebra)라고 한다.

일반·특수 선형 초대수편집

  초행렬은 다음과 같은 꼴의 행렬이다.

 

여기서   이고,   이다.   초행렬의 모임을 일반 선형 초대수  이라고 쓰자. 초행렬의 초대각합(超對角合, 영어: supertrace)은 다음과 같다.[1]:§25

 

응용편집

리 초대수는 이론물리학에서 쓰인다. (푸앵카레) 초대칭에서는 짝수 등급이 보존을, 홀수 등급이 페르미온을 나타낸다. 그러나 BRST에서는 그 반대다.

BRST 대칭편집

게이지 이론은 BRST 대칭이라는 대칭을 지닌다. BRST 초대수는 0|1차원 초대수이며, 그 페르미온 생성원  의 초괄호는 다음과 같다.

 

즉, 이는 멱영(영어: nilpotent) 리 초대수이다.

초대칭편집

초대칭 이론들은 시공간의 대칭들과 초대칭들을 포함하는 리 초대수를 대칭으로 가진다. 이들 대수의 보손 생성원은 푸앵카레 군R대칭에 해당하고, 페르미온 생성원은 초대칭에 해당한다.

만약 이론이 초대칭과 등각 대칭을 둘 다 가질 경우, 이 두 대칭군은 초등각 대칭군이라는 하나의 초군을 생성시킨다. 대표적으로, 4차원 민코프스키   초등각 대칭군은 단순초군  이다. 이 초군은 AdS/CFT 대응성에서 등장한다.

역사편집

펠릭스 알렉산드로비치 베레진(러시아어: Фе́ликс Алекса́ндрович Бере́зин)과 게오르기 이사코비치 카츠(러시아어: Георгий Исаакович Кац)가 1970년에 도입하였다.[2]

참고 문헌편집

  1. Frappat, L.; A. Sciarrino, P. Sorba (1996년 7월). “Dictionary on Lie superalgebras” (영어). Bibcode:1996hep.th....7161F. arXiv:hep-th/9607161. 
  2. Березин, Феликс Александрович; Кац, Георгий Исаакович (1970). “Группы Ли с коммутирующими и антикоммутирующими параметрами”. 《Математический сборник》 (러시아어) 82 (3): 343–351. MR 265520. Zbl 0244.22014. 

외부 링크편집