가환환 위의 리 초대수 의 아이디얼은 의 부분 리 초대수 가운데
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인 것이다.
표수 0의 체 위의 리 초대수 가 정확히 두 개의 리 초대수 아이디얼을 가질 경우, 이를 단순 리 초대수라고 한다. (이 경우, 아이디얼은 과 전체이다. 인 경우는 아이디얼이 1개이므로 해당되지 않으며, 이는 1을 소수로 간주하지 않는 것과 마찬가지다.)
표수 0의 체 위의 단순 리 초대수 가 다음 조건을 만족시킬 경우, 고전 리 초대수(古典Lie超代數, 영어: classical Lie superalgebra)라고 한다.
- 의, 위의 리 대수의 표현이 완전 분해 가능 표현이다.
고전 리 초대수가 아닌 단순 리 초대수를 카르탕형 대수(Cartan型代數, 영어: Cartan-type algebra) 또는 초고전적 대수(超古典的代數, 영어: hyperclassical algebra)라고 하며, , , , 이 있다.
초행렬은 다음과 같은 꼴의 행렬이다.
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여기서 는 이고, 는 이다. 초행렬의 모임을 일반 선형 리 초대수(一般線型Lie超代數, 영어: general linear Lie superalgebra) 이라고 쓰자. 초행렬의 초대각합(超對角合, 영어: supertrace)은 다음과 같다.[3]:§25
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특수 선형 리 초대수(特殊線型Lie超代數, 영어: special lienar Lie superalgebra) 는 초대각합이 0인 초행렬들로 구성된 리 초대수이다.[3]:§25
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단위 행렬 의 경우 이므로, 일 필요 충분 조건은 이다. 이 경우, 사영 특수 선형 리 초대수(射影特殊線型Lie超代數, 영어: projective special linear Lie superalgebra) 는 다음과 같은, 중심에 대한 몫이다.
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직교-심플렉틱 리 초대수(直交symplectic Lie超代數, 영어: orthosymplectic Lie superalgebra) 는 다음과 같은 초행렬들로 구성된 리 초대수이다.[3]:§25
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여기서
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이다.
페리플렉틱 리 초대수(periplectic Lie超代數, 영어: periplectic Lie superalgebra) 는 다음과 같다.[3]:§25[4]:9, (1.14)
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를 다음과 같이 정의하자.
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이 리 초대수는 단위 행렬로 생성되는 중심을 갖는데, 이에 대한 몫을 이상한 리 초대수(異常한Lie超代數, 영어: queer Lie superalgebra) 이라고 한다.[3]:§25
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또는 는 구체적으로 다음과 같다.[3]:§20 이 리 초대수의 보손 리 대수는 이며, 이에 대한 페르미온 표현은 이다. 이에 따라, 지표
- ( 의 정의 표현의 지표)
- ( 지표)
- ( 의 정의 표현의 지표)
를 사용하면, 보손 생성원 및 페르미온 생성원 에 대한 리 초괄호는 다음과 같다.
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이다. 여기서 는 파울리 행렬이며,
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는 3차원 스피너의 전하 켤레 행렬이다.
페르미온-페르미온 리 초괄호에 등장하는 세 개의 복소수 계수 는 야코비 항등식에 의하여
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을 만족시켜야 하며, 또한
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이다. 즉, 은 3차원 복소수 사영 평면 의 동차 좌표를 이루며, 그 속에서 가능한 값은
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으로 정의되는 사영 직선의 에 대한 몫 오비폴드이다.
이에 따라,
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로 좌표를 잡으면, 그 위의 대칭군 의 작용은 다음과 같다.
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이 경우, 인 점은 에 해당한다.
실수 계수의 경우, 가능한 보손 리 대수는 다음과 같다.[2]:694–695, §5B
보손 리 대수 |
대칭 |
의 조건 |
의 동치 관계 |
의 표준 영역
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(없음) |
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이 경우, 복소수 계수 의 가능한 값은 실수 조건을 통해 제한되며, 그 대칭 또한 위와 같이 깨지게 된다. 이 경우, 가능한 의 동치 관계는 위 표와 같으며, 이 동치 관계의 동치류들은 위 표준 영역의 원소와 일대일 대응한다.
체 위의 벡터 공간 위의 외대수 위의 -등급 미분들, 즉 -선형 변환
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가운데
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를 만족시키는 것들의 벡터 공간을 라고 하자. 의 기저 를 잡았을 때, 는 다음과 같이 표현될 수 있다.
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의 -등급으로부터, 이는 위에 -등급을 정의한다. 그 위의 리 초괄호는 단순히
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이며, 여기서 ± 부호는 등급에 의하여 결정된다.
만약 가 2 이상의 유한 차원 벡터 공간이라면, 이는 단순 리 초대수를 이룬다. 이를 로 표기한다.
특수 카르탕형 리 초대수(영어: special Cartan-type Lie superalgebra) 과 및 해밀턴형 리 초대수(영어: Hamilton-type Lie superalgebra) 은 모두 의 부분 리 초대수이다.