단순 리 초대수

리 초대수 이론에서, 단순 리 초대수(單純Lie超代數, 영어: simple Lie superalgebra)는 자명하지 않은 아이디얼을 갖지 않는 리 초대수이다.

정의

가환환 $K$ 위의 리 초대수 ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{0}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}$의 아이디얼은 ${\mathfrak {g}}$의 부분 리 초대수 ${\mathfrak {i}}\subseteq {\mathfrak {g}}$ 가운데

$[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {i}}\}\subseteq {\mathfrak {i}}$

인 것이다.

표수 0의 체 위의 리 초대수 ${\mathfrak {g}}$가 정확히 두 개의 리 초대수 아이디얼을 가질 경우, 이를 단순 리 초대수라고 한다. (이 경우, 아이디얼은 $\{0\}$과 ${\mathfrak {g}}$ 전체이다. ${\mathfrak {g}}=\{0\}$인 경우는 아이디얼이 1개이므로 해당되지 않으며, 이는 1을 소수로 간주하지 않는 것과 마찬가지다.)

표수 0의 체 위의 단순 리 초대수 ${\mathfrak {g}}$가 다음 조건을 만족시킬 경우, 고전 리 초대수(古典Lie超代數, 영어: classical Lie superalgebra)라고 한다.

• ${\mathfrak {g}}_{0}$의, ${\mathfrak {g}}_{1}$ 위의 리 대수의 표현이 완전 분해 가능 표현이다.

고전 리 초대수가 아닌 단순 리 초대수를 카르탕형 대수(Cartan型代數, 영어: Cartan-type algebra) 또는 초고전적 대수(超古典的代數, 영어: hyperclassical algebra)라고 하며, ${\mathfrak {w}}(n)$, ${\mathfrak {s}}(n)$, ${\tilde {\mathfrak {s}}}(n)$, ${\mathfrak {h}}(n)$이 있다.

분류

복소수 단순 리 초대수

표수 0의 대수적으로 닫힌 체 위의 단순 리 초대수들은 모두 분류되었으며, 그 목록은 다음과 같다.^{:45, Theorem 2}

이름	기호	조건	보손 부분 대수	보손 차원	페르미온 표현	페르미온 차원
특수 선형	${\mathfrak {sl}}(m|n)$	$1\leq m<n$	${\mathfrak {sl}}(m)\oplus {\mathfrak {sl}}(n)\oplus {\mathfrak {u}}(1)$	$m^{2}+n^{2}-1$	$(\mathbf {n} ,{\bar {\mathbf {m} }})\oplus ({\bar {\mathbf {n} }},\mathbf {m} )$	$2mn$
사영 특수 선형	${\mathfrak {psl}}(m|m)$	$m\geq 2$	${\mathfrak {sl}}(m)\oplus {\mathfrak {sl}}(m)$	$2n^{2}-2$	$(\mathbf {m} ,{\bar {\mathbf {m} }})\oplus ({\bar {\mathbf {m} }},\mathbf {m} )$	$2m^{2}$
직교-심플렉틱	${\mathfrak {osp}}(m|2n)$	$m\geq 1$, $n\geq 1$	${\mathfrak {o}}(m)\oplus {\mathfrak {sp}}(2n)$	$m(m-1)/2+n(2n+1)$	$(\mathbf {m} ,\mathbf {2n} )$	$2mn$
이상한	${\mathfrak {q}}(n)$	$n\geq 3$	${\mathfrak {sl}}(n)\oplus {\mathfrak {u}}(1)$	$n^{2}$	$\mathbf {(n^{2}-1)}$	$n^{2}-1$
페리플렉틱	${\mathfrak {p}}(n)$	$n\geq 3$	${\mathfrak {sl}}(n)\oplus {\mathfrak {u}}(1)$	$n^{2}$	$\mathbf {n} ^{{\text{sym}}\otimes 2}\oplus {\bar {\mathbf {n} }}^{\wedge 2}$	$n^{2}$
예외	${\mathfrak {osp}}(4|2;\alpha )$	$\alpha \neq 0,-1,+1$	${\mathfrak {sl}}(2)\oplus {\mathfrak {sl}}(2)\oplus {\mathfrak {sl}}(2)$	9	$(\mathbf {2} ,\mathbf {2} ,\mathbf {2} )$	8
예외	${\mathfrak {f}}(3|1)$		${\mathfrak {sl}}(2)\oplus {\mathfrak {o}}(7)$	24	$(\mathbf {2} ,\mathbf {8} )$	16
예외	${\mathfrak {g}}(3)$		${\mathfrak {sl}}(2)\oplus {\mathfrak {g}}_{2}$	17	$(\mathbf {2} ,\mathbf {7} )$	14
카르탕형	${\mathfrak {w}}(n)$	$n\geq 2$	(복잡함)	$n2^{n-1}$	(복잡함)	$n2^{n-1}$
카르탕형 특수	${\mathfrak {s}}(n)$	$n\geq 3$	(복집함)	$(n-1)2^{n-1}+(n-2\lfloor n/2\rfloor )$	(복잡함)	$(n-1)2^{n-1}+1-(n-2\lfloor n/2\rfloor )$
카르탕형 특수	${\tilde {\mathfrak {s}}}(n)$	$2\mid n\geq 4$	(복잡함)	$(n-1)2^{n-1}$	(복잡함)	$(n-1)2^{n-1}+1$
해밀턴형	${\mathfrak {h}}(n)$	$n\geq 4$	(복잡함)	$2^{n-1}-2+(n-2\lfloor n/2\rfloor )$	(복잡함)	$2^{n-1}-(n-2\lfloor n/2\rfloor )$

위 표에서 $\mathbf {r} ^{{\text{sym}}\otimes 2}$는 $\mathbf {r} \otimes \mathbf {r}$의 대칭 성분이고, $\mathbf {r} ^{\wedge 2}$는 $\mathbf {r} \otimes \mathbf {r}$의 반대칭 성분이다.

이들 가운데 다음과 같은 동형이 존재한다.

${\mathfrak {sl}}(2|1)={\mathfrak {osp}}(2|2)$

${\mathfrak {osp}}(4|2;1)={\mathfrak {osp}}(4|2;-2)={\mathfrak {osp}}(4|2;-1/2)={\mathfrak {osp}}(4|2)$

${\mathfrak {osp}}(4|2;\alpha )={\mathfrak {osp}}(4|2;\alpha ^{-1})={\mathfrak {osp}}(4|2;-\alpha -1)$

${\mathfrak {w}}(2)={\mathfrak {sl}}(2|1)$

${\mathfrak {s}}(3)={\mathfrak {p}}(3)$

${\mathfrak {h}}(4)={\mathfrak {sl}}(2|2)$

이 밖에 단순 리 초대수 사이의 다른 동형은 없다.

실수체 위의 고전 단순 리 초대수

실수체 위의 고전 리 초대수 역시 분류되었다.^{:59, Theorem 9, §3}

복소화	실수 형태	조건	보손 부분 대수
${\mathfrak {sl}}(m|n)$	${\mathfrak {sl}}(m|n;\mathbb {R} )$	$m\neq n$	${\mathfrak {sl}}(m;\mathbb {R} )\oplus {\mathfrak {sl}}(n;\mathbb {R} )\oplus \mathbb {R}$
	${\mathfrak {su}}^{*}(m|n)$	$m\neq n$, $2\mid m,n$	${\mathfrak {su}}^{*}(m)\oplus {\mathfrak {su}}^{*}(n)\oplus \mathbb {R}$
	${\mathfrak {su}}(m-p,p|n-q,q)$	$m\neq n$, $0<p<m$, $0<q<n$	${\mathfrak {su}}(m-p,p)\oplus {\mathfrak {su}}(n-q,q)\oplus {\mathfrak {u}}(1)$
${\mathfrak {psl}}(m|m)$	${\mathfrak {psl}}(m|m;\mathbb {R} )$		${\mathfrak {sl}}(m;\mathbb {R} )\oplus {\mathfrak {sl}}(m;\mathbb {R} )$
	${\mathfrak {psu}}^{*}(m|m)$	$2\mid m$	${\mathfrak {su}}^{*}(m)\oplus {\mathfrak {su}}^{*}(m)$
	${\mathfrak {psu}}(m-p,p|m-q,q)$	$0<p,q<m$	${\mathfrak {su}}(m-p,p)\oplus {\mathfrak {su}}(m-q,q)$
	(이름 없음)		${\mathfrak {sl}}(m;\mathbb {C} )$
${\mathfrak {osp}}(m|2n)$	${\mathfrak {osp}}(m-p,p|2n;\mathbb {R} )$	$0\leq p\leq m$	${\mathfrak {o}}(m-p,p;\mathbb {R} )\oplus {\mathfrak {sp}}(2n;\mathbb {R} )$
	${\mathfrak {osp}}^{*}(m|2n-2q,2q)$	$2\mid m$	${\mathfrak {o}}^{*}(m)\oplus {\mathfrak {sp}}(2n-2q,2q;\mathbb {R} )$
${\mathfrak {osp}}(4|2;\alpha )$	${\mathfrak {osp}}(4-p,p|2;\alpha )$	$p\in \{0,1,2\}$	${\mathfrak {o}}(4-p,p)\oplus {\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {R} )$
${\mathfrak {f}}(4)$	${\mathfrak {f}}(7-p,p)$	$p\in \{0,3\}$	${\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {R} )\oplus {\mathfrak {o}}(7-p,p;\mathbb {R} )$
	${\mathfrak {f}}(7-p,p)$	$p\in \{1,2\}$	${\mathfrak {su}}(2;\mathbb {R} )\oplus {\mathfrak {o}}(7-p,p;\mathbb {R} )$
${\mathfrak {g}}(3)$	(이름 없음)		${\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {R} )\oplus {\mathfrak {g}}_{2(-14)}$
	(이름 없음)		${\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {R} )\oplus {\mathfrak {g}}_{2(2)}$
${\mathfrak {p}}(n)$	${\mathfrak {p}}^{*}(n)$	$2\mid n$	${\mathfrak {su}}^{*}(n)$
	${\mathfrak {p}}(n;\mathbb {R} )$		${\mathfrak {sl}}(n;\mathbb {R} )$
${\mathfrak {q}}(n)$	${\mathfrak {uq}}(n-p,p;\mathbb {R} )$	$0\leq p\leq n$	${\mathfrak {su}}(n-p,p)$
	${\mathfrak {q}}^{*}(n)$	$2\mid n$	${\mathfrak {su}}^{*}(n)$
	${\mathfrak {q}}(n;\mathbb {R} )$		${\mathfrak {sl}}(n;\mathbb {R} )$

예

일반·특수 선형 초대수

$(m|n)\times (m|n)$ 초행렬은 다음과 같은 꼴의 행렬이다.

${\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}$

여기서 $A$는 $m\times m$이고, $B$는 $n\times n$이다. $(m|n)\times (m|n)$ 초행렬의 모임을 일반 선형 리 초대수(一般線型Lie超代數, 영어: general linear Lie superalgebra) ${\mathfrak {gl}}(m|n)$이라고 쓰자. 초행렬의 초대각합(超對角合, 영어: supertrace)은 다음과 같다.^:§25

$\operatorname {str} {\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}=\operatorname {tr} A-\operatorname {tr} D$

특수 선형 리 초대수(特殊線型Lie超代數, 영어: special lienar Lie superalgebra) ${\mathfrak {sl}}(m|n)$는 초대각합이 0인 초행렬들로 구성된 리 초대수이다.^:§25

${\mathfrak {sl}}(m|n)=\{M\in {\mathfrak {gl}}(m|n)\colon \operatorname {str} (m|n)=0\}$

단위 행렬 $1_{m|n}$의 경우 $\operatorname {str} 1_{m|n}=m-n$이므로, $1_{m|n}\in {\mathfrak {sl}}(m|n)$일 필요 충분 조건은 $m=n$이다. 이 경우, 사영 특수 선형 리 초대수(射影特殊線型Lie超代數, 영어: projective special linear Lie superalgebra) ${\mathfrak {psl}}(m|m)$는 다음과 같은, 중심에 대한 몫이다.

${\mathfrak {psl}}(m|m)=\left\{[M]_{\sim }\colon M\in {\mathfrak {sl}}(m|m),\;M\sim M+1_{m|m}\right\}$

직교-심플렉틱 초대수

직교-심플렉틱 리 초대수(直交symplectic Lie超代數, 영어: orthosymplectic Lie superalgebra) ${\mathfrak {osp}}(m|2n)$는 다음과 같은 초행렬들로 구성된 리 초대수이다.^:§25

${\mathfrak {osp}}(m|2n)=\left\{{\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}\in {\mathfrak {gl}}(m|n)\colon A^{\top }=-A,\;D^{\top }\Omega =-\Omega D,\;B=C^{\top }\Omega \right\}$

여기서

$\Omega ={\begin{pmatrix}0_{n\times n}&1_{n\times n}\\-1_{n\times n}&0_{n\times n}\end{pmatrix}}$

이다.

페리플렉틱 초대수와 이상한 초대수

페리플렉틱 리 초대수(periplectic Lie超代數, 영어: periplectic Lie superalgebra) ${\mathfrak {p}}(n)$는 다음과 같다.^{:§25:9, (1.14)}

${\mathfrak {p}}(n)=\left\{{\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}\in {\mathfrak {gl}}(n|n)\colon A^{\top }=-D,\;B^{\top }=B,\;C^{\top }=-C,\;\operatorname {tr} A=0\right\}$

${\tilde {\mathfrak {q}}}(n)$를 다음과 같이 정의하자.

${\tilde {\mathfrak {q}}}(n)=\left\{{\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}\in {\mathfrak {gl}}(n|n)\colon A=D,\;B=C,\;\operatorname {tr} B=0\right\}$

이 리 초대수는 단위 행렬로 생성되는 중심을 갖는데, 이에 대한 몫을 이상한 리 초대수(異常한Lie超代數, 영어: queer Lie superalgebra) ${\mathfrak {q}}(n)$이라고 한다.^:§25

${\mathfrak {q}}(n)=\{[M]_{\sim }\colon M\in {\tilde {\mathfrak {q}}}(n),\;M\sim M+1_{n|n}\}$

𝔬𝔰𝔭(4|2;α)

${\mathfrak {osp}}(4|2;\alpha )$ 또는 ${\mathfrak {d}}(2,1;\alpha )$는 구체적으로 다음과 같다.^:§20 이 리 초대수의 보손 리 대수는 ${\mathfrak {sl}}(2)^{\oplus 3}$이며, 이에 대한 페르미온 표현은 $(\mathbf {2} ,\mathbf {2} ,\mathbf {2} )$이다. 이에 따라, 지표

• $a,b\in \{1,2,3\}\in \mathbb {Z} /(3)$ ($\operatorname {Sym} (3)$의 정의 표현의 지표)
• $i\in \{1,2,3\}$ (${\mathfrak {sl}}(2)$ 지표)
• $\alpha ,\beta \in \{1,2\}$ (${\mathfrak {sl}}(2)$의 정의 표현의 지표)

를 사용하면, 보손 생성원 $t^{a}$ 및 페르미온 생성원 $F_{\alpha _{1}\alpha _{2}\alpha _{3}}$에 대한 리 초괄호는 다음과 같다.

$[t_{i}^{a},t_{j}^{b}]=\mathrm {i} \delta ^{ab}\epsilon _{ijk}t_{k}^{a}$

$[t_{i}^{a},F_{\alpha _{1}\alpha _{2}\alpha _{3}}]={\frac {1}{2}}\sigma _{\alpha _{a}'\alpha _{a}}^{i}F_{\alpha _{1}\dotso \alpha _{a}'\dotso \alpha _{3}}$

$\{F_{\alpha _{1}\alpha _{2}\alpha _{3}},F_{\beta _{1}\beta _{2}\beta _{3}}\}=\sum _{a=1}^{3}s_{a}(C\sigma ^{i})_{\alpha _{a}\beta _{a}}C_{\alpha _{a+1}\beta _{a+1}}C_{\alpha _{a+2}\beta _{a+2}}t_{i}^{a}\qquad (s_{1},s_{2},s_{3}\in \mathbb {C} )$

이다. 여기서 $\sigma ^{i}$는 파울리 행렬이며,

$C=\mathrm {i} \sigma ^{2}$

는 3차원 스피너의 전하 켤레 행렬이다.

페르미온-페르미온 리 초괄호에 등장하는 세 개의 복소수 계수 $(s_{1},s_{2},s_{3})$는 야코비 항등식에 의하여

$s_{1}+s_{2}+s_{3}=0$

을 만족시켜야 하며, 또한

$(s_{1},s_{2},s_{3})\sim (s_{\sigma (1)},s_{\sigma (2)},s_{\sigma (3)})\sim (\lambda s_{1},\lambda s_{2},\lambda s_{3})\qquad (\lambda \in \mathbb {C} ^{\times },\;\sigma \in \operatorname {Sym} (3))$

이다. 즉, $[s_{1}:s_{2}:s_{3}]$은 3차원 복소수 사영 평면 $\mathbb {CP} ^{2}$의 동차 좌표를 이루며, 그 속에서 가능한 값은

$s_{1}+s_{2}+s_{3}=0$

으로 정의되는 사영 직선의 $\operatorname {Sym} (3)$에 대한 몫 오비폴드이다.

이에 따라,

$\alpha =s_{2}/s_{1}\in \mathbb {CP} ^{1}$

로 좌표를 잡으면, 그 위의 대칭군 $\operatorname {Sym} (3)$의 작용은 다음과 같다.

$\alpha \sim \alpha ^{-1}\sim -(\alpha +1)\sim -{\frac {1}{\alpha +1}}\sim -{\frac {\alpha }{\alpha +1}}\sim -1-{\frac {1}{\alpha }}$

이 경우, $\alpha \sim 1\sim -2\sim -1/2$인 점은 ${\mathfrak {osp}}(4|2)$에 해당한다.

실수 계수의 경우, 가능한 보손 리 대수는 다음과 같다.^{:694–695, §5B}

보손 리 대수	대칭	$\alpha$의 조건	$\alpha$의 동치 관계	$\alpha$의 표준 영역
${\mathfrak {o}}(2,2;\mathbb {R} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {R} )\cong {\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {R} )^{\oplus 3}$	$\operatorname {Sym} (3)$	$\alpha \in \mathbb {RP} ^{1}$	$\alpha \sim 1/\alpha \sim -1-\alpha$	$\alpha \in [0,1]$
${\mathfrak {o}}(3,1;\mathbb {R} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {R} )\cong {\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {R} )$	$1$	$\alpha \in -1/2+\mathrm {i} \mathbb {R}$	(없음)	$\alpha \in -1/2+\mathrm {i} \mathbb {R}$
${\mathfrak {o}}(4;\mathbb {R} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {R} )\cong {\mathfrak {su}}(2\mathbb {R} )^{\oplus 2}\oplus {\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {R} )$	$\operatorname {Sym} (2)$	$\alpha \in \mathbb {RP} ^{1}$	$\alpha \mapsto 1/\alpha$	$\alpha \in [-1,1]$

이 경우, 복소수 계수 $\alpha$의 가능한 값은 실수 조건을 통해 제한되며, 그 $\operatorname {Sym} (3)$ 대칭 또한 위와 같이 깨지게 된다. 이 경우, 가능한 $\alpha$의 동치 관계는 위 표와 같으며, 이 동치 관계의 동치류들은 위 표준 영역의 원소와 일대일 대응한다.

카르탕형 리 초대수

체 $K$ 위의 벡터 공간 $V$ 위의 외대수 $\textstyle \bigwedge V$ 위의 $\mathbb {Z} /2$-등급 미분들, 즉 $K$-선형 변환

$d\colon \bigwedge (V)\to \bigwedge (V)$

가운데

$d(a\vee b)=(da)\wedge b+(-)^{\deg a}a\wedge db\qquad \left(b\in \bigwedge (V),\;a\in \bigwedge _{2\bullet +1}(V)\cup \bigwedge _{2\bullet }(V)\right)$

를 만족시키는 것들의 벡터 공간을 $\operatorname {W} (V)$라고 하자. $V$의 기저 $(v_{i})_{i\in I}$를 잡았을 때, $d\in \operatorname {W} (V)$는 다음과 같이 표현될 수 있다.

$d=\sum _{i\in I}a_{i}{\frac {\partial }{\partial v_{i}}}\qquad \left(a_{i}\in \bigwedge (V)\;\forall i\in I\right)$

$\textstyle \bigwedge (V)$의 $\mathbb {Z}$-등급으로부터, 이는 $\operatorname {W} (V)$ 위에 $\mathbb {Z}$-등급을 정의한다. 그 위의 리 초괄호는 단순히

$[d,d']=d\circ d'\pm d'\circ d$

이며, 여기서 ± 부호는 $\mathbb {Z} /2$ 등급에 의하여 결정된다.

만약 $V$가 2 이상의 유한 차원 벡터 공간이라면, 이는 단순 리 초대수를 이룬다. 이를 ${\mathfrak {w}}(\dim V)$로 표기한다.

특수 카르탕형 리 초대수(영어: special Cartan-type Lie superalgebra) ${\mathfrak {s}}(n)$과 ${\mathfrak {s}}(n)$ 및 해밀턴형 리 초대수(영어: Hamilton-type Lie superalgebra) ${\mathfrak {h}}(n)$은 모두 ${\mathfrak {w}}(n)$의 부분 리 초대수이다.

역사

단순 리 초대수의 분류는 빅토르 카츠가 1975년에 완성하였다.

각주

• Musson, Ian M. (2012). 《Lie superalgebras and enveloping algebras》. Graduate Studies in Mathematics (영어) 131. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-6867-6. MR 2906817. Zbl 1255.17001. 
• Leites, D. A. (1985년 9월). “Lie superalgebras”. 《Journal of Soviet Mathematics》 (영어) 30 (6): 2481–2512. doi:10.1007/BF02249121. ISSN 0090-4104. 
• Cheng, Shun-Jen; Wang, Weiqiang (2010년 1월). “Dualities for Lie superalgebras” (영어). arXiv:1001.0074. Bibcode:2010arXiv1001.0074C. 
• Ramond, Pierre (2010년 5월). 《Group theory: a physicist’s survey》 (영어). Cambridge University Press. ISBN 9780521896030. MR 2663568. Zbl 1205.20001. 
• Rittenberg, V. (1978). 〈A guide to Lie superalgebras〉. 《Group theoretical methods in physics: Sixth International Colloquium, Tübingen, 1977》. Lecture Notes in Physics (영어) 79. Springer. 3–21쪽. doi:10.1007/3-540-08848-2_1. ISBN 978-3-540-08848-6. ISSN 0075-8450. 2015년 6월 23일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2017년 11월 22일에 확인함. 

외부 링크

• “General linear supergroup”. 《nLab》 (영어). 
• “Orthosymplectic super Lie algebra”. 《nLab》 (영어).