각의 이등분선

기하학에서, 각의 이등분선(角-二等分線, 영어: angle bisector)은 주어진 을 같은 크기의 두 각으로 나누는 직선이다. 이 직선 가운데 각의 내부에 포함되는 부분으로 구성된 반직선을 각의 이등분선으로 삼아도 좋다.

정의편집

주어진 각  의 내부의 점   를 만족시키면, 직선 또는 반직선  를 각  의 이등분선이라고 한다.[1]:160, §14.1, Definition 14.7

성질편집

주어진 각의 이등분선은 유일하게 존재한다. (직선으로서의) 각의 이등분선은 각의 양변과의 거리가 같은 평면 위 점들의 자취이다. 즉, 각  와 이 각의 평면 위의 점  에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • 직선  는 각의 이등분선이다.
  •  와 직선   사이의 거리는  와 직선   사이의 거리와 같다.

단순비편집

삼각형  의 꼭짓점  에서의 내각외각의 이등분선  ,  과 대변  의 교점을  ,  라고 하자. 그렇다면

 
 

가 성립한다. 여기서 좌변의 비율은 유향 선분의 비율로 봐야 한다. 즉, 두 유향 선분의 방향이 같을 경우 양수이며, 반대일 경우 음수이다.

길이편집

삼각형  의 각 변  ,  ,  의 길이가 각각  ,  ,  라고 하고, 꼭짓점  ,  ,  에서의 내각의 이등분선  ,  ,  와 대변  ,  ,  의 교점을  ,  ,  라고 하자. 그렇다면

 
 
 

이다. 이에 따라, 같은 삼각형 속 내각의 이등분선은 대변이 짧을수록 더 길다. 예를 들어, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  •  
  •  

이다. 또한, 다음 두 조건 역시 서로 동치이며, 이를 슈타이너-레무스 정리라고 한다.

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이에 따라, 두 내각의 이등분선의 길이가 같은 삼각형은 이등변 삼각형이다.

내심과 방심편집

삼각형의 세 내각의 이등분선은 한 점에서 만난다. 이 점을 삼각형의 내심이라고 한다. 삼각형의 한 내각의 이등분선과 남은 두 꼭짓점에서의 외각의 이등분선은 한 점에서 만난다. 이 점을 삼각형의 방심이라고 한다. 모든 삼각형은 한 개의 내심과 세 개의 방심을 갖는다. 내심과 방심의 존재는 각의 이등분선 위의 점과 각의 두 변 사이의 거리가 같다는 사실을 통해 증명하거나, 체바 정리를 통해 증명할 수 있다.

이와 평행하는 결과는 다음과 같다. 삼각형의 세 외각의 이등분선의 발은 같은 직선 위의 점이며, 한 외각의 이등분선과 남은 두 꼭짓점에서의 내각의 이등분선의 발 역시 같은 직선 위의 점이다. 이는 메넬라오스 정리를 통해 증명할 수 있다.

같이 보기편집

각주편집

  1. Martin, George E. (1975). 《The Foundations of Geometry and the Non-Euclidean Plane》. Undergraduate Texts in Mathematics (영어). New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-1-4612-5725-7. ISBN 978-1-4612-5727-1. 

외부 링크편집