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메넬라오스 정리

메넬라오스 정리. 직선이 삼각형 내부를 지나는 경우.
메넬라오스 정리. 직선이 삼각형 내부를 지나지 않는 경우.

기하학에서, 메넬라오스 정리(영어: Menelaus' theorem)는 삼각형의 각 변 위의 점이 같은 직선 위의 점일 필요충분조건을 세 점이 각 변을 분할하는 비율 사이의 관계로 나타내는 정리이다.

정의편집

 ,  ,  가 각각 삼각형  의 변  ,  ,  의 직선 위의 점이라고 하자. 메넬라오스 정리에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  •  ,  ,  공선점이다.
  •  

두 번째 조건에 등장하는 세 개의 비율은 유향 선분의 비율이다. 즉,    의 내분점이면 양의 부호를, 외분점이면 음의 부호를 가지며, 남은 두 비율도 마찬가지다. 따라서 두 번째 조건을 만족시키려면 세 점이 모두 외분점이거나 정확히 하나가 외분점이어야 한다. 메넬라오스 정리는 세 점 가운데 하나가 무한원점인 경우에도 유효하다. 예를 들어,  가 직선   위의 무한원점일 경우,  ,  ,  가 공선점일 필요충분조건은   에 평행하는 것이며,  이 성립한다.

증명편집

증명 1편집

우선  ,  ,  공선점이라고 가정하고, 세 비율의 곱이 −1임을 보이자.[1]:66-67, §3.4 파슈 공리에 의하여 외분점은 홀수 개이므로 세 비율의 곱은 음의 부호를 갖는다. 각 꼭짓점  ,  ,  에서 직선  에 내린 수선의 발을  ,  ,  라고 하자. 그렇다면  ,  ,  는 평행선이므로

 

이다. 따라서

 

가 성립한다.

반대로

 

이라고 가정하고  ,  ,  가 공선점임을 보이자. 직선  가 직선   에서 만난다고 하자. 그렇다면 위에서 증명한 바에 의하여

 

이며, 따라서

 

이다. 직선  를 주어진 비율로 분할하는 점은 유일하므로  이며, 특히  는 직선   위의 점이다.

증명 2편집

우선  ,  ,  공선점이라고 가정하자.[2]:147-148, §13.1 꼭짓점  를 지나는 직선  의 평행선이 대변  의 직선과 점 에서 만난다고 하자. 그렇다면 삼각형   는 서로 닮음이며, 삼각형    역시 서로 닮음이다. 특히

 

이므로,

 

가 성립한다. 세 비율의 곱이 음의 부호라는 증명과 반대 방향의 증명은 첫 증명과 같다.

따름정리편집

변의 중점에 대한 반사 관련 성질편집

 ,  ,  가 각각 삼각형  의 변  ,  ,  의 직선 위의 점이라고 하고, 이들에 각각 변  ,  ,  의 중점에 대한 반사를 가하여 얻는 점을  ,  ,  이라고 하자. 그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  •  ,  ,  는 공선점이다.
  •  ,  ,  는 공선점이다.

이는 반사된 세 점의 비율이 각각 원래 세 점의 비율의 역수이기 때문이다.

내각과 외각의 이등분선의 성질편집

삼각형의 세 외각의 이등분선의 발은 공선점이다. 삼각형의 두 내각의 이등분선과 남은 한 외각의 이등분선의 발은 공선점이다. 다시 말해, 삼각형  의 세 내각 또는 외각의 이등분선  ,  ,  가 대변  ,  ,  의 직선과 점  ,  ,  에서 만난다고 하자. 만약 이들이 모두 외각의 이등분선이거나 정확히 하나가 외각의 이등분선이라면, 이들의 발  ,  ,  는 공선점이다.

수심축편집

삼각형  의 각 꼭짓점  ,  ,  에서 대변의 직선에 내린 수선의 발을  ,  ,  라고 하고, 수심 삼각형  의 세 변  ,  ,  가 각각 원래 삼각형의 세 변  ,  ,  와 점  ,  ,  에서 만난다고 하자. 그렇다면  ,  ,  는 공선점이며, 이들의 직선을 원래 삼각형  수심축이라고 한다. 이는 원래 삼각형의 각 변이 수심 삼각형의 외각의 이등분선이기 때문이다.

외접원의 접선의 성질편집

삼각형  외접원의 각 꼭짓점  ,  ,  에서의 접선이 대변  ,  ,  의 직선과 점  ,  ,  에서 만난다고 하자. 그렇다면  ,  ,  는 공선점이다.

일반화편집

다각형의 경우편집

임의의 다각형에서도 성립한다. 예를 들어, 사각형 ABCD의 네 변 AB, BC, CD, DA 또는 그의 연장선과 직선 l의 교점을 E, F, G, H라 하면 다음이 성립한다.

 

직선이 다각형을 지나지 않아도 된다.

역사편집

알렉산드리아의 메넬라오스(고대 그리스어: Μενέλαος ὁ Ἀλεξανδρεύς)는 저서 《구면학》(라틴어: Sphaerica)의 제3권에서 구면 삼각형에 대한 메넬라오스 정리를 제시하였으며, 이를 평면 삼각형에 대한 메넬라오스 정리를 사용하여 증명하였다.[3]:121, §5.6 평면 삼각형에 대한 정리의 증명은 이 책에서 제시되지 않았다.[3]:121, §5.6

같이 보기편집

각주편집

  1. Coxeter, H. S. M.; Greitzer, S. L. (1967). 《Geometry Revisited》 (영어). Buehler, George H. 삽화. Washington, D.C.: Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-619-0. 
  2. Honsberger, Ross (1995). 《Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry》. New Mathematical Library (영어). Washington: The Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-639-5. 
  3. Kline, Morris (1972). 《Mathematical Thoughts from Ancient to Modern Times》 [수학사상사] (영어) 1. New York, New York: Oxford University Press. ISBN 0-19-506135-7. 

외부 링크편집