단조함수

수학에서 단조 함수(單調函數, 영어: monotonic function)는 주어진 순서를 보존하는 함수이다. 기하학적으로, 실수 단조 함수의 그래프는 왼쪽에서 오른쪽으로 줄곧 상승하거나 줄곧 하강한다. 대수학적으로, 단조 함수는 두 순서 집합 사이의 준동형이다.

단조 증가. 강한 단조 증가는 아니다.

정의

실수 구간 $I$를 정의역, 실수 집합 $\mathbb {R}$을 공역으로 하는 함수 $f\colon I\to \mathbb {R}$이 다음 두 조건 중 하나를 만족시키면, 단조 함수라고 한다.

• 임의의 $x,y\in I$에 대하여, $x\leq y$이면 $f(x)\leq f(y)$. 이 경우, $f$를 증가 함수(增加函數, 영어: increasing function)라고 하고, $f$가 단조 증가(영어: monotonically increasing)한다고 한다.
• 임의의 $x,y\in I$에 대하여, $x\leq y$이면 $f(x)\geq f(y)$. 이 경우, $f$를 감소 함수(減少函數, 영어: decreasing function)라고 하고, $f$가 단조 감소(영어: monotonically decreasing)한다고 한다.

만약 다음 두 조건 중 하나를 만족시키면, 강한 단조 함수(영어: strictly monotonic function)라고 한다.

• 임의의 $x,y\in I$에 대하여, $x<y$이면 $f(x)<f(y)$. 이 경우, $f$를 강한 증가 함수(영어: strictly increasing function)라고 한다.
• 임의의 $x,y\in I$에 대하여, $x<y$이면 $f(x)>f(y)$. 이 경우, $f$를 강한 감소 함수(영어: strictly decreasing function)라고 한다.

즉, 단조 함수는 순서 관계 $\leq$를 보존하거나 반전시키는 함수이며, 강한 단조 함수는 절대 순서 관계 $<$를 보존하거나 반전시키는 함수이다. 강한 단조 함수는 단조 함수보다 강한 개념이다. 예를 들어, 단조 함수는 어떤 부분 구간에서 줄곧 상수일 수 있으나, 강한 단조 함수는 그럴 수 없다.

실수 부분 집합 $D\subset \mathbb {R}$에서 실수 집합 $\mathbb {R}$로 가는 함수 $f\colon D\to \mathbb {R}$의, 부분 구간 $I\subset D$에서의 단조성은, $f$의 $I$로의 제한 $f|_{I}$의 단조성을 뜻한다.

보다 일반적으로, 두 부분 순서 집합 $(X,\leq )$, $(Y,\preceq )$사이의 순서 보존 사상(順序保存寫像, 영어: order-preserving map)은 임의의 $x,y\in X$에 대하여 $x\leq y$이면 $f(x)\preceq f(y)$인 함수 $f\colon X\to Y$이다. 즉, 두 부분 순서 집합 사이의 준동형이다. 두 부분 순서 집합 사이의 순서 반전 사상(영어: order-reversing map)은 임의의 $x,y\in X$에 대하여 $x\leq y$이면 $f(x)\succeq f(y)$인 함수 $f\colon X\to Y$이다. 즉, 첫번째 부분 순서 집합과 두번째 부분 순서 집합 사이의 역순서 준동형이다.

미분과 단조성

미분은 함수의 단조성을 판별하는 좋은 도구이다.

미분 가능한 실수 함수 $f\colon D\to \mathbb {R}$와 부분 구간 $I\subset D$에 대하여, 다음 성질들이 성립한다.

• $f$가 $I$에서 단조 증가할 필요 충분 조건은, 임의의 $x\in I$에 대하여, $f'(x)\geq 0$인 것이다.
• $f$가 $I$에서 단조 감소할 필요 충분 조건은, 임의의 $x\in I$에 대하여, $f'(x)\leq 0$인 것이다.

같은 $f$ 및 $I$에 대하여, 강한 단조 함수에 대한 다음 성질들도 성립한다.

• $f$가 $I$에서 강한 증가 함수일 필요 충분 조건은, 임의의 $x\in I$에 대하여, $f'(x)\geq 0$이며, 임의의 $x\in J$에 대하여 $f'(x)=0$인 부분 구간 $J\subset I$가 존재하지 않는 것이다.
• $f$가 $I$에서 강한 감소 함수일 필요 충분 조건은, 임의의 $x\in I$에 대하여, $f'(x)\leq 0$이며, 임의의 $x\in J$에 대하여 $f'(x)=0$인 부분 구간 $J\subset I$가 존재하지 않는 것이다.

특히, 만약 $I$에서 항상 $f'(x)>0$이거나, 항상 $f'(x)<0$이면, $f$는 $I$에서 강한 단조 함수이다. 그러나 역은 성립하지 않는다. 예를 들어, 함수 $f(x)=x^{3}$은 실수 전체에서 강한 증가 함수이지만, $f'(0)=0$이다.

구간 $I$에 정의된 실수 단조 함수 $f\colon I\to \mathbb {R}$에 대하여, 다음 성질들이 성립한다.

• $f$의 불연속점은 모두 단순 불연속점이다.
• $f$의 불연속점은 많아야 가산 개이다.^:96
• (르베그 미분가능성 정리) $f$의 미분 불가능점은 많아야 영측도이다.

이에 따라, 연속 함수가 아니거나 미분 불가능한 단조 함수의 성질은 상당히 제한된다.