같은 부호수
σ
=
(
F
,
R
)
{\displaystyle \sigma =(F,R)}
의 두 구조
(
A
,
F
A
,
R
A
)
{\displaystyle (A,F_{A},R_{A})}
,
(
B
,
F
B
,
R
B
)
{\displaystyle (B,F_{B},R_{B})}
사이의 준동형 은 다음 조건을 만족시키는 함수
ϕ
:
A
→
B
{\displaystyle \phi \colon A\to B}
이다.
(연산의 보존) 모든
n
{\displaystyle n}
항 연산
f
∈
F
{\displaystyle f\in F}
및
a
1
,
a
2
,
…
,
a
n
∈
A
{\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}\in A}
에 대하여,
ϕ
(
f
A
(
a
1
,
a
2
,
…
,
a
n
)
)
=
f
B
(
ϕ
(
a
1
)
,
ϕ
(
a
2
)
,
…
,
ϕ
(
a
n
)
)
{\displaystyle \phi (f_{A}(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}))=f_{B}(\phi (a_{1}),\phi (a_{2}),\dots ,\phi (a_{n}))}
(관계의 보존) 모든
n
{\displaystyle n}
항 관계
r
∈
R
{\displaystyle r\in R}
및
a
1
,
a
2
,
…
,
a
n
∈
A
{\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}\in A}
에 대하여,
r
A
(
a
1
,
a
2
,
…
,
a
n
)
⟹
r
B
(
ϕ
(
a
1
)
,
ϕ
(
a
2
)
,
…
,
ϕ
(
a
n
)
)
{\displaystyle r_{A}(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})\implies r_{B}(\phi (a_{1}),\phi (a_{2}),\dots ,\phi (a_{n}))}
같은 부호수
σ
=
(
F
,
R
)
{\displaystyle \sigma =(F,R)}
의 두 구조
(
A
,
F
A
,
R
A
)
{\displaystyle (A,F_{A},R_{A})}
,
(
B
,
F
B
,
R
B
)
{\displaystyle (B,F_{B},R_{B})}
사이의 강준동형 (強準同型, 영어 : strong homomorphism )은 다음 조건을 추가로 만족시키는 준동형
ϕ
:
A
→
B
{\displaystyle \phi \colon A\to B}
이다.
모든
n
{\displaystyle n}
항 관계
r
∈
R
{\displaystyle r\in R}
및
a
1
,
…
,
a
n
∈
A
{\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}\in A}
에 대하여,
r
A
(
a
1
,
a
2
,
…
,
a
n
)
⟺
r
B
(
ϕ
(
a
1
)
,
ϕ
(
a
2
)
,
…
,
ϕ
(
a
n
)
)
{\displaystyle r_{A}(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})\iff r_{B}(\phi (a_{1}),\phi (a_{2}),\dots ,\phi (a_{n}))}
대수 구조 의 경우, 관계가 없으므로 강준동형과 준동형의 개념이 일치한다.
마그마
(
M
,
⋅
)
{\displaystyle (M,\cdot )}
는 하나의 이항 연산 을 갖는 대수 구조 이다. 마그마 준동형
ϕ
:
M
→
N
{\displaystyle \phi \colon M\to N}
은 모든
m
,
n
∈
M
{\displaystyle m,n\in M}
에 대하여
ϕ
(
m
⋅
n
)
=
ϕ
(
m
)
⋅
ϕ
(
n
)
{\displaystyle \phi (m\cdot n)=\phi (m)\cdot \phi (n)}
인 함수이다.
군
(
G
,
⋅
,
−
1
,
1
)
{\displaystyle (G,\cdot ,^{-1},1)}
은 이항 연산
⋅
{\displaystyle \cdot }
, 일항 연산
−
1
{\displaystyle ^{-1}}
, 영항 연산
1
{\displaystyle 1}
을 갖는 대수 구조 이다. 군 준동형
ϕ
:
G
→
H
{\displaystyle \phi \colon G\to H}
는 모든
g
,
g
′
∈
G
{\displaystyle g,g'\in G}
에 대하여
ϕ
(
g
⋅
g
′
)
=
ϕ
(
g
)
⋅
ϕ
(
g
′
)
{\displaystyle \phi (g\cdot g')=\phi (g)\cdot \phi (g')}
ϕ
(
g
−
1
)
=
ϕ
(
g
)
−
1
{\displaystyle \phi (g^{-1})=\phi (g)^{-1}}
ϕ
(
1
)
=
1
{\displaystyle \phi (1)=1}
인 함수이다. 군의 경우, 군의 공리에 따라 2번·3번 조건이 1번 조건에 의하여 함의 되므로, 이들을 생략할 수 있다.
유사환
(
R
,
⋅
,
+
,
−
,
0
)
{\displaystyle (R,\cdot ,+,-,0)}
은 이항 연산
⋅
{\displaystyle \cdot }
및
−
{\displaystyle -}
, 일항 연산
−
{\displaystyle -}
, 영항 연산
0
{\displaystyle 0}
을 갖는 대수 구조 이다. 유사환 준동형
ϕ
:
R
→
S
{\displaystyle \phi \colon R\to S}
는 모든
r
,
r
′
∈
R
{\displaystyle r,r'\in R}
에 대하여
ϕ
(
r
⋅
r
′
)
=
ϕ
(
r
)
⋅
ϕ
(
r
′
)
{\displaystyle \phi (r\cdot r')=\phi (r)\cdot \phi (r')}
ϕ
(
r
+
r
′
)
=
ϕ
(
r
)
+
ϕ
(
r
′
)
{\displaystyle \phi (r+r')=\phi (r)+\phi (r')}
ϕ
(
−
r
)
=
−
ϕ
(
r
)
{\displaystyle \phi (-r)=-\phi (r)}
ϕ
(
−
0
)
=
−
ϕ
(
0
)
{\displaystyle \phi (-0)=-\phi (0)}
인 함수이다. 환의 공리에 따라 3번·4번 조건이 1번 및 2번 조건에 의하여 함의 되므로, 이들을 생략할 수 있다.
(단위원을 갖는) 환
(
R
,
⋅
,
+
,
−
,
1
,
0
)
{\displaystyle (R,\cdot ,+,-,1,0)}
은 이항 연산
⋅
{\displaystyle \cdot }
및
+
{\displaystyle +}
, 일항 연산
−
{\displaystyle -}
, 영항 연산
0
{\displaystyle 0}
및
1
{\displaystyle 1}
을 갖는 대수 구조 이다. 환 준동형
ϕ
:
R
→
S
{\displaystyle \phi \colon R\to S}
는 모든
r
,
r
′
∈
R
{\displaystyle r,r'\in R}
에 대하여
ϕ
(
r
⋅
r
′
)
=
ϕ
(
r
)
⋅
ϕ
(
r
′
)
{\displaystyle \phi (r\cdot r')=\phi (r)\cdot \phi (r')}
ϕ
(
r
+
r
′
)
=
ϕ
(
r
)
+
ϕ
(
r
′
)
{\displaystyle \phi (r+r')=\phi (r)+\phi (r')}
ϕ
(
−
r
)
=
−
ϕ
(
r
)
{\displaystyle \phi (-r)=-\phi (r)}
ϕ
(
−
0
)
=
−
ϕ
(
0
)
{\displaystyle \phi (-0)=-\phi (0)}
ϕ
(
1
)
=
1
{\displaystyle \phi (1)=1}
인 함수이다. 환의 공리에 따라 3번·4번 조건이 1번 및 2번 조건에 의하여 함의 되므로, 이들을 생략할 수 있다. 두 환 사이의 유사환 준동형은 일반적으로 5번 성질을 만족시키지 못하므로, 환 준동형 은 유사환 준동형보다 더 강한 조건이다. 예를 들어,
Z
→
Z
×
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }
,
n
↦
(
0
,
n
)
{\displaystyle n\mapsto (0,n)}
은 유사환 준동형이지만 환 준동형 이 아니다.
체 는 (보편 대수학 에서 다루는) 대수 구조 가 아니므로, 준동형의 개념이 존재하지 않는다. 체를 환으로 간주한다면, 체 사이의 환 준동형은 체의 확대 이다. 체 사이의 유사환 준동형은 그 밖에 상수 함수 0만을 추가로 포함한다.
체
K
{\displaystyle K}
에 대한 벡터 공간
(
V
,
+
,
−
,
s
⋅
s
∈
K
,
0
)
{\displaystyle (V,+,-,s\cdot _{s\in K},0)}
은 이항 연산
+
{\displaystyle +}
, 일항 연산
−
{\displaystyle -}
및 모든
s
∈
K
{\displaystyle s\in K}
에 대하여
s
⋅
{\displaystyle s\cdot }
, 영항 연산
0
{\displaystyle 0}
을 갖는 대수 구조 이다. 벡터 공간의 준동형은 선형 변환 이라고 하며, 선형 변환
ϕ
:
V
→
W
{\displaystyle \phi \colon V\to W}
는 모든
v
,
v
′
∈
R
{\displaystyle v,v'\in R}
에 대하여
ϕ
(
v
+
v
′
)
=
ϕ
(
v
)
+
ϕ
(
v
′
)
{\displaystyle \phi (v+v')=\phi (v)+\phi (v')}
ϕ
(
−
v
)
=
−
ϕ
(
v
′
)
{\displaystyle \phi (-v)=-\phi (v')}
모든
s
∈
K
{\displaystyle s\in K}
에 대하여,
ϕ
(
−
s
⋅
r
)
=
−
s
⋅
ϕ
(
r
)
{\displaystyle \phi (-s\cdot r)=-s\cdot \phi (r)}
ϕ
(
0
)
=
ϕ
(
0
)
{\displaystyle \phi (0)=\phi (0)}
인 함수이다. 벡터 공간의 공리에 따라 2번 및 4번 조건은 1번 및 3번 조건에 의하여 함의 되므로, 이들을 생략할 수 있다.
격자
(
L
,
∨
,
∧
)
{\displaystyle (L,\vee ,\wedge )}
는 이항연산
∨
{\displaystyle \vee }
및
∧
{\displaystyle \wedge }
를 갖는 대수 구조 이다. 격자의 준동형
ϕ
:
L
→
M
{\displaystyle \phi \colon L\to M}
은 모든
a
,
b
∈
L
{\displaystyle a,b\in L}
에 대하여
ϕ
(
a
∨
b
)
=
ϕ
(
a
)
∨
ϕ
(
b
)
{\displaystyle \phi (a\vee b)=\phi (a)\vee \phi (b)}
ϕ
(
a
∧
b
)
=
ϕ
(
a
)
∧
ϕ
(
b
)
{\displaystyle \phi (a\wedge b)=\phi (a)\wedge \phi (b)}
인 함수이다. 격자는 표준적인 부분 순서 집합 구조를 갖는데, 이 경우 위 두 조건으로부터 격자 준동형이 항상 단조함수 임을 보일 수 있다. 그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.
유계 격자
(
L
,
∨
,
∧
,
⊥
,
⊤
)
{\displaystyle (L,\vee ,\wedge ,\bot ,\top )}
는 이항 연산
∨
{\displaystyle \vee }
및
∧
{\displaystyle \wedge }
, 영항 연산
⊥
{\displaystyle \bot }
및
⊤
{\displaystyle \top }
을 갖는 대수 구조 이다. 유계 격자의 준동형
ϕ
:
L
→
M
{\displaystyle \phi \colon L\to M}
은 모든
a
,
b
∈
L
{\displaystyle a,b\in L}
에 대하여
ϕ
(
a
∨
b
)
=
ϕ
(
a
)
∨
ϕ
(
b
)
{\displaystyle \phi (a\vee b)=\phi (a)\vee \phi (b)}
ϕ
(
a
∧
b
)
=
ϕ
(
a
)
∧
ϕ
(
b
)
{\displaystyle \phi (a\wedge b)=\phi (a)\wedge \phi (b)}
ϕ
(
⊥
)
=
⊥
{\displaystyle \phi (\bot )=\bot }
ϕ
(
⊥
)
=
⊤
{\displaystyle \phi (\bot )=\top }
인 함수이다. 이는 격자의 준동형보다 더 강한 조건이다. 즉, 두 유계 격자 사이의 유계 격자 준동형은 격자 준동형이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.
그래프 의 언어
⟨
∼
⟩
{\displaystyle \langle \sim \rangle }
는 아무런 연산을 갖지 않고, 하나의 이항 관계
v
1
∼
v
2
{\displaystyle v_{1}\sim v_{2}}
를 갖는 언어이다. 이 경우
v
1
∼
v
2
{\displaystyle v_{1}\sim v_{2}}
는 "
v
1
=
v
2
{\displaystyle v_{1}=v_{2}}
이거나, 아니면
v
1
{\displaystyle v_{1}}
과
v
2
{\displaystyle v_{2}}
사이에 변이 존재한다"로 해석한다.
이 언어의 구조는 그래프 이며, 구조로서의 준동형은 그래프의 준동형이다.
전순서 집합 의 언어
⟨
≤
{\displaystyle \langle \leq }
는 아무런 연산을 갖지 않고, 하나의 이항 관계
≤
{\displaystyle \leq }
를 갖는 언어이며, 이 언어의 구조는 전순서 집합 이다. 이 경우, 준동형은 순서 보존 함수(증가 함수)이다.