에르미트 다양체

미분기하학에서 에르미트 다양체(Hermite多樣體, 영어: Hermitian manifold)는 일종의 계량 텐서를 가진 복소다양체이다. 복소 기하학에서 리만 다양체에 대응되는 개념이다.

켈러 다양체와 칼라비-야우 다양체는 에르미트 다양체의 특수한 경우다.

정의

에르미트 계량

매끄러운 다양체 $M$ 위의 $2n$차원 매끄러운 벡터 다발 $E$ 위의 개복소구조(영어: almost complex structure), 즉 $J^{2}=-1$이 되는 매끄러운 단면 $J\in \Gamma ^{\infty }(\operatorname {End} _{\mathbb {R} }(E))$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 각 $x\in M$에 대하여,

$J_{x}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} \colon E_{x}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} \to E_{x}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C}$

는 고윳값 $\pm \mathrm {i}$를 가지며, 따라서 부분 복소수 벡터 공간

$E_{x}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} =E_{x}^{+}\oplus E_{x}^{-}$

$(J_{x}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} )\upharpoonright E_{x}^{\pm }=\pm \mathrm {i}$

을 정의할 수 있다. 또한, 표준적인 사상

$(-)^{\pm }\colon E_{x}\to E_{x}^{\pm }$

$(-)^{\pm }\colon v\mapsto \operatorname {proj} _{E_{x}^{\pm }}(v\otimes \mathbb {C} )$

이 존재한다.

그렇다면, $E$ 위의 에르미트 계량(Hermitian metric)은 다음 두 성질을 만족시키는 매끄러운 단면

$h\in \Gamma ^{\infty }((E^{+})^{*}\otimes _{\mathbb {C} }(E^{-})^{*})$

이다. (여기서 $(-)^{*}$는 각 올에 대한 복소수 연속 쌍대 공간을 취하는 것이다.)

$h_{x}(z^{+},w^{-})={\overline {h_{x}(z^{-},w^{+})}}\in \mathbb {C} \qquad (\forall z,w\in E_{x})$

$h_{x}(z^{+},z^{-})\in \mathbb {R} ^{+}\qquad (\forall z\in E_{x}\setminus \{0\})$

여기서 ${\overline {x}}$는 복소수의 복소켤레를 뜻한다. 이를 국소 좌표계로 표현하면 다음과 같다. 우선, $E^{+}$의 첨자를 $i,j,\dotsc$로, $E^{-}$의 첨자를 ${\bar {i}},{\bar {j}},\dotsc$로 표기하자. 마찬가지로, $z\in E_{x}$에 대하여 $z^{+}$의 성분을 $z^{i}$로, $z^{-}$의 성분을 ${\bar {z}}^{\bar {i}}$로 표기하자. 그렇다면,

$h_{i{\bar {j}}}z^{i}{\bar {w}}^{\bar {j}}={\overline {h}}_{i{\bar {j}}}z^{i}{\bar {w}}^{\bar {j}}\in \mathbb {C} \qquad (\forall z,w\in E_{x})$

$h_{i{\bar {j}}}z^{i}{\bar {z}}^{\bar {j}}\in \mathbb {R} ^{+}\qquad (\forall z\in E_{x}\setminus \{0\})$

특히, 첫째 조건은 $h_{i{\bar {j}}}$가 에르미트 행렬을 이룬다는 것이며, 둘째 조건은 이 에르미트 행렬의 고윳값이 모두 양의 실수라는 것이다.

에르미트 다양체

개복소다양체 (또는 복소다양체) $M$이 주어졌다고 하자. 이 경우, 접다발 $\mathrm {T} M$ 위에 개복소구조 $J\in \Gamma ^{\infty }(\operatorname {End} (\mathrm {T} M))$가 주어져 $\mathrm {T} ^{\pm }M$을 정의할 수 있다.

에르미트 다양체 $(M,h)$는 $\mathrm {T} ^{\pm }M$ 위에 에르미트 계량 $h\in \Gamma ^{\infty }(\mathrm {T} ^{+*}M\otimes _{\mathbb {C} }\mathrm {T} ^{-*}M)$가 주어진 복소다양체이다.

성질

리만 구조

모든 에르미트 다양체는 자연스러운 리만 계량을 가져, 리만 다양체를 이룬다. 이 경우 리만 계량은 다음과 같다.

$g^{\mathbb {C} }={\frac {1}{2}}(h+{\bar {h}})\in \Gamma ^{\infty }\left(\mathrm {T} ^{*}\!M\otimes _{\mathbb {R} }\mathrm {T} ^{*}\!M\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} \right)$

이 경우, $g^{\mathbb {C} }(u,v)={\bar {g}}^{\mathbb {C} }$이므로, 이는 $g\in \Gamma ^{\infty }\left((\mathrm {T} M\otimes \mathrm {T} M)^{*}\right)$로 제약이 가능하며, 이는 리만 계량을 이룬다.

또한, $h$를 사용하여 다음과 같은 (1,1)-복소수 미분 형식 $\omega \in \Omega ^{1,1}(M)$를 정의할 수 있다.

$\omega ={\frac {\mathrm {i} }{2}}(h-{\bar {h}})$

$\omega _{\alpha {\bar {\beta }}}={\frac {\mathrm {i} }{2}}h_{\alpha {\bar {\beta }}}\mathrm {d} z^{\alpha }\wedge \mathrm {d} {\bar {z}}^{\bar {\beta }}$

천 접속

복소다양체 $M$ 위의 해석적 벡터 다발 $(E,J)$ 위의 에르미트 계량 $h$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $E$ 위에는 다음 두 조건을 만족시키는 유일한 코쥘 접속 $\nabla$가 존재한다. 이를 천 접속([陳]接續, Chern connection)이라고 한다.

• $\nabla J=0$
• $\nabla g=0$

만약 $E=\mathrm {T} M$일 경우 (에르미트 다양체), 이는 $\mathrm {T} M$ 위의 레비치비타 접속과는 다르며, 비틀림을 가진다. 다만, 만약 에르미트 다양체가 켈러 다양체인 경우, 비틀림이 0이며, 천 접속과 레비치비타 접속은 일치한다.

외부 링크

• “Hermitian structure”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Hermitian metric”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Rowland, Todd. “Hermitian metric”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Hermitian manifold”. 《nLab》 (영어). 
• “Almost Hermitian structure”. 《nLab》 (영어).