대수적 위상수학에서, 교곱(交곱, 영어: cap product 캡 프로덕트[*])은 호몰로지류코호몰로지류를 하나의 호몰로지류로 축약시키는 연산이다.

정의편집

X위상 공간이며, R가환환이라고 하자. 그렇다면   계수의 교곱  은 다음과 같은  -선형 변환이다.

 

여기서   는 각각   계수의 특이 호몰로지와 특이 코호몰로지이다.

이 연산은 다음과 같이 정의된다. 임의의 특이 쌍대사슬   및 특이 단체  에 대하여,

 

여기서

 

( )는  차원 표준 단체를 꼭짓점들이   차원 표준 단체의,  에 속하는 꼭짓점들만을 갖는 부분 표준 단체로 포함시키는 함수이다.

경사곱편집

위상 공간  ,  가환환   위의 가군  ,  이 주어졌을 때,   계수의 경사곱(傾斜-, 영어: slant product)  은 다음과 같은  -선형 변환이다.

 

구체적으로, 사슬 복합체 사이에 다음과 같은 사상이 존재한다.

 

만약 세포 호몰로지를 사용할 경우 이는 두 CW 복합체곱공간 위의 표준적인 세포 구조이다. 만약 특이 호몰로지를 사용할 경우, 이는

 
 

에 대하여, 단체의 곱공간   위에 부여한 임의의 단체 복합체 구조 아래 기본류를 나타내는 특이 순환

 
 

을 골랐을 때

 

이다.

그렇다면, 경사곱은 다음과 같다.

 
 

역사편집

교곱은 1936년 에두아르트 체흐가 처음으로 도입하였으며,[1] 1938년에 해슬러 휘트니도 독립적으로 재발견하였다.[2][3] 교곱의 기호  는 휘트니가 고안하였다.

같이 보기편집

참고 문헌편집

  1. Čech, Eduard (1936년 7월). “Multiplications on a complex”. 《Annals of Mathematics》 (영어) 37 (3): 681–697. doi:10.2307/1968483. ISSN 0003-486X. JSTOR 1968483. MR 1503304. Zbl 0015.13101. 
  2. Whitney, Hassler (1937년 5월). “On products in a complex”. 《Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America》 (영어) 23: 285–291. doi:10.1073/pnas.23.5.285. ISSN 0027-8424. JFM 63.1160.02. Zbl 0016.42001. 
  3. Whitney, Hassler (1938년 5월). “On products in a complex”. 《Annals of Mathematics》 (영어) 39: 397–432. doi:10.2307/1968795. ISSN 0003-486X. JFM 64.1265.04. JSTOR 1968795. MR 1503416. Zbl 0019.14204. 

외부 링크편집