대수적 위상수학에서, 합곱(合곱, 영어: cup product 컵 프로덕트[*])은 두 코호몰로지류를 더 큰 코호몰로지류로 이어붙이는 연산이다. 이에 따라, 코호몰로지호몰로지와 달리 등급환을 이룬다.

정의편집

쌍대사슬의 합곱편집

위상 공간  가환환  가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 특이 쌍대사슬의 합곱은 다음과 같은  -선형 변환이다.

 

이는 다음과 같이 정의된다. 임의의  차 특이 쌍대사슬   차 특이 쌍대사슬   특이 단체  에 대하여,

 

여기서

 

( )는  차원 표준 단체를 꼭짓점들이   차원 표준 단체의,  에 속하는 꼭짓점들만을 갖는 부분 표준 단체로 포함시키는 함수이다.

코호몰로지류의 합곱편집

쌍대사슬의 합곱은 다음과 같이 쌍대경계  와 호환된다.

 

따라서, 쌍대사슬의 합곱은 코호몰로지류 위에도 정의된다. 이에 따라, 코호몰로지류의 합곱

 

이 존재하게 된다. 이를 곱으로 삼으면, 코호몰로지 군  등급환을 이룬다.

텐서곱편집

위상 공간  가환환   위의 가군  ,  이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 특이 쌍대사슬에 대한 다음과 같은 사상이 존재한다.

 
 

여기서

 
 

곱공간의 사영 사상이다. 이 역시 쌍대경계와 호환되어, 코호몰로지류의 텐서곱

 

을 정의할 수 있다. 만약  라면,  이므로 이는

 

이다. 이 사상은 퀴네트 정리에 등장하는 사상과 같다.

성질편집

코호몰로지류의 합곱은 다음과 같은 등급 교환 법칙을 따른다.

 

합곱은 함자를 이룬다. 구체적으로, 임의의 연속 함수  에 대하여, 코호몰로지로 인한 당김

 

을 정의한다면, 다음이 성립한다. 임의의  에 대하여,

 

즉,  등급환준동형을 이룬다.

합곱과 텐서곱의 관계편집

위상 공간  가환환   위의 가군  ,  이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 대각 사상

 

이 존재한다. 그렇다면, 텐서곱의 대각 사상의 당김

 

이 존재한다. 만약  라면, 이는 합곱  과 일치한다.

역사편집

1935년 9월 4일~10일 동안 모스크바에서 열린 제1차 세계 위상 수학 학회(영어: International Topological Conference)에서 제임스 워델 알렉산더안드레이 콜모고로프는 독자적으로 코호몰로지류의 개념 및 코호몰로지류의 곱셈을 도입하였다.[1] 이후 에두아르트 체흐[2]해슬러 휘트니[3][4]는 코호몰로지류의 합곱을 구체적으로 정의하였다. 1944년에 사무엘 에일렌베르크는 그 정의를 일반화하였다.[5] 합곱의 기호  는 휘트니가 고안하였다.

같이 보기편집

참고 문헌편집

  1. Becker, James C.; Gottlieb, Daniel Henry. “A history of duality in algebraic topology” (PDF) (영어). 
  2. Čech, Eduard (1936년 7월). “Multiplications on a complex”. 《Annals of Mathematics》 (영어) 37 (3): 681–697. doi:10.2307/1968483. ISSN 0003-486X. JSTOR 1968483. MR 1503304. Zbl 0015.13101. 
  3. Whitney, Hassler (1937년 5월). “On products in a complex”. 《Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America》 (영어) 23: 285–291. doi:10.1073/pnas.23.5.285. ISSN 0027-8424. JFM 63.1160.02. Zbl 0016.42001. 
  4. Whitney, Hassler (1938년 5월). “On products in a complex”. 《Annals of Mathematics》 (영어) 39: 397–432. doi:10.2307/1968795. ISSN 0003-486X. JFM 64.1265.04. JSTOR 1968795. MR 1503416. Zbl 0019.14204. 
  5. Eilenberg, Samuel. “Singular homology”. 《Annals of Mathematics》 (영어) 45: 407–447. 

외부 링크편집