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대수적 위상수학에서, 푸앵카레 쌍대성(Poincaré雙對性, 영어: Poincaré duality)은 호몰로지 군과 코호몰로지 군에 대한 대응성이다.

정의편집

정수 계수편집

 이 (경계가 없는) 콤팩트  차원 유향 다양체라고 하자. 그렇다면, 그 방향기본류

 

를 정의한다.

그렇다면, 다음과 같은 사상을 정의할 수 있다.

 
 

여기서  은 호몰로지류와 코호몰로지류의 합곱이다.

이 사상은 아벨 군동형 사상을 이루며, 이를 푸앵카레 쌍대성이라고 한다.


베티 수  는 호몰로지 및 코호몰로지의 차원이므로, 다음이 성립한다.

 .

정수 계수에서 성립하므로, 사실 위의 푸앵카레 쌍대성은 임의의 아벨 군 계수에 대하여 마찬가지로 성립한다.

𝔽₂ 계수편집

 이 (경계가 없는) 콤팩트  차원 다양체  이 주어졌다고 하자. ( 가향 다양체일 필요가 없다.)

이 경우, 기본류  계수에서 잘 정의된다.

 

이 경우, 마찬가지로 다음과 같은,  -벡터 공간동형 사상이 존재한다.

 
 

성질편집

짝수  차원 콤팩트 다양체  이 주어졌다고 하자. 또한, 다음과 같은 두 경우를 생각하자.

  •  이며,  유향 다양체
  •  

두 경우 다 기본류  가 존재한다. 이 경우, 푸앵카레 쌍대성에 의하여,  -가군   위에 다음과 같은 이차 형식이 존재한다.

 
 

이를  교차 형식(영어: intersection form)이라고 한다.

역사편집

앙리 푸앵카레가 1893년에 베티 수에 대한 관계로 제시하였다. 푸앵카레는 1895년에 푸앵카레 쌍대성의 증명을 발표하였으나,[1] 덴마크의 수학자 포울 헤고르(덴마크어: Poul Heegaard)가 오류를 지적하였다. 푸앵카레는 이 논문의 속편에서 수정한 다른 증명을 발표하였다.

1930년대에 코호몰로지가 발견되면서, 푸앵카레 쌍대성이 베티 수를 넘어서 호몰로지코호몰로지 사이의 관계라는 사실이 밝혀졌다.

참고 문헌편집

  1. Henri Poincaré, Analysis Situs, Journal de l'École Polytechnique ser 2, 1 (1895) pages 1–123.