구면 삼각형

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수학에서 구면 삼각형(球面三角形, 영어: spherical triangle)은 위의 세 대원호에 둘러싸인 구면 위 도형이다. 유클리드 기하학평면 삼각형구면 기하학 버전이다. 구면 삼각형을 연구하는 수학 분야를 구면 삼각법(球面三角法, 영어: spherical trigonometry)이라고 한다.

구면 삼각형

정의편집

원점을 중심으로 하며, 1을 반지름으로 하는 (2차원)  볼록 구면 다각형(-球面多角形, 영어: convex spherical polygon)은 다음을 만족시키는 부분 집합  이다.[1]

  •   반구  의 유한 교집합  으로 나타낼 수 있다.
  •  . 즉,  내부점을 가진다.
  •  . 즉,  대척점쌍을 포함하지 않는다.

각 반구  에 대응하는  반공간  들의 교집합  볼록추를 이루는데, 이  의 모서리와  의 교점을  꼭짓점(-點, 영어: vertex)이라고 하며,  의 면과  의 교선을  (邊, 영어: edge)이라고 한다. 꼭짓점의 수가 3일 경우  (볼록) 구면 삼각형((-)球面三角形, 영어: (convex) spherical triangle)이라고 한다.

성질편집

  위의 세 점  에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치다.

  •  는 구면 삼각형을 이룬다.
  •   -선형 독립이다.

변의 길이와 각의 크기편집

구면 삼각형  의 변의 길이  는 두 꼭짓점 사이에 놓인 대원호의 길이로 정의되며, 이는 그 두 꼭짓점을 지나는 반지름 사이의 각도와 같다.

 
 
 

구면 삼각형  의 각의 크기  는 한 꼭짓점에서 남은 두 꼭짓점을 향하는 두 접선 사이의 각도로 정의되며, 이는 그 한 꼭짓점을 지나는 두 변과 원점이 결정하는 두 평면 사이의 이면각과 같다.

 
 
 

극삼각형편집

구 위의 (대원이 아닐 수 있는) 원의 (極, 영어: pole)은 그 원이 놓인 평면과 수직인 지름의 두 끝점이다.

구면 삼각형  가 주어졌다고 하자.   의 대원의 두 극 가운데  와 같은 쪽에 있는 하나이며,   의 대원의 두 극 가운데  와 같은 쪽에 놓인 하나이며,   의 대원의 두 극 가운데  와 같은 쪽에 있는 하나라고 하자. 그렇다면  는 구면 삼각형을 이루며, 이를  극삼각형(極三角形, 영어: polar triangle)이라고 한다. 즉, 이는 다음을 만족시키는 삼각형이다.

 
 
 
 

극삼각형의 극삼각형은 자기 자신이다. 이는 다음과 같이 증명할 수 있다. 구면 삼각형  의 극삼각형이  라고 하자. 그렇다면,  가 각각 변  의 극이므로,  는 모두 4분원호다. 따라서,  는 변  의 극이다. 또한,   의 같은 쪽에 있으므로,  는 4분원호보다 작으며, 따라서   의 같은 쪽에 있다. 이로써 원하는 명제를 얻는다.

구면 삼각형  의 극삼각형  의 변   및 각  은 원래의 삼각형과 다음과 같은 관계를 갖는다.

 

이는 다음과 같이 증명할 수 있다.   의 교점을  ,   의 교점을  라고 하자. 그렇다면, 각  는 대원호  와 같다. 또한,  는 모두 4분원호이므로,  는 반원호와 같다. 이로써 원하는 명제를 얻는다.

사인 법칙과 코사인 법칙편집

구면 삼각형에 대한 사인 법칙은 다음과 같다.

 

구면 삼각형  에 대한 제1 코사인 법칙은 다음과 같다.

 
 
 

구면 삼각형  에 대한 제2 코사인 법칙은 극삼각형에 제1 법칙을 적용한 결과이며, 이는 다음과 같다.

 
 
 

다음과 같은 항등식은 코사인 법칙 및 사인 법칙을 사용하여 증명할 수 있다.

 
 
 
 
 
 

기타 항등식편집

반각과 반변편집

구면 삼각형의 반각 및 반변의 삼각 함수들은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

 
 
 
 
 
 

여기서  이다.

이에 따라 구면 삼각형의 각과 변의 삼각 함수를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

 
 

네이피어 동류식편집

다음과 같은 4개의 항등식을 네이피어 동류식(-同類式, 영어: Napier's analogies)이라고 한다.

 
 
 
 

들랑브르 동류식편집

다음과 같은 4개의 항등식을 들랑브르 동류식(-同類式, 영어: Delambre's analogies) 또는 가우스 정리(-定理, 영어: Gauss's theorems)이라고 한다.

 
 
 
 

넓이와 구과량편집

구면 다각형  구과량(球過量, 영어: spherical excess) 또는 구면 과잉(球面過剩)은 다음과 같다.

 

특히, 구면 삼각형  의 구과량은 다음과 같다.

 

구면 다각형  의 넓이는 그 구과량과 같다.

 

특히, 구면 삼각형  의 넓이는 다음과 같으며, 이에 따라 구면 삼각형의 내각합은 항상 180도보다 크다.

 

이는 다음과 같이 증명할 수 있다. 구면 다각형은 여러 개의 구면 삼각형으로 쪼갤 수 있으므로, 구면 삼각형에 대하여 증명하는 것을 족하다.  변이 놓인 대원호를 경계로 하며  를 한 점으로 포함하는 반구를 생각하자. 이는 네 가지 구역으로 나뉘는데, 첫째는 구면 삼각형  , 둘째는 각  만큼 벌어진 구면 이각형에서 구면 삼각형  를 제외한 부분, 셋째는 각  만큼 벌어진 구면 이각형에서 구면 삼각형  를 제외한 부분, 마지막 넷째는 각  만큼 벌어진 구면 이각형에서  대척점  이 이루는 구면 삼각형을 제외한 부분이다. 구의 넓이가  이며, 구면 이각형의 넓이는 벌어진 각에 비례하며, 구면 삼각형  의 넓이가  와 같다는 사실에 주의하면, 반구의 넓이를 다음과 같은 두 가지 방법으로 나타낼 수 있으며, 이를 정리하면 증명하려던 공식을 얻는다.

 

다음 항등식은 시몽 륄리에가 제시하였다.

 

여기서  이다.

응용편집

구면 삼각법은 천문학, 측지학항법에서 계산에 매우 중요하다.

역사편집

그리스 수학에서 구면 삼각법의 기원과 이슬람 수학의 주요 발전은 중세 이슬람의 삼각법과 수학의 역사에서 논의된바있다. 이 주제는 존 네이피어(John Napier) , 장 밥티스트 조제프 델람브레(Delambre) 및 다른 사람들의 중요한 발전으로 초기 근대에 실현되었으며 19세기 말 토드헌터(Todhunter)가 저술한 전문서적인 대학 및 학생을 위한 구면 삼각법의 출판으로 본질적으로 완전한 형태를 갖추었다.[2] 이 책은 현재 웹에서 쉽게 퍼블릭 도메인구텐베르크 프로젝트로부터 사용할 수 있다. 그 이후로 중요한 발달로는 정리의 도출과 복잡한 계산을 수행하기위한 컴퓨터의 사용을 위한 벡터 방법의 적용이 있어왔다.

같이 보기편집

각주편집

  1. Berger, Marcel (1987). 《Geometry II》. Universitext (영어). 번역 Cole, Michael; Levy, Silvio. Berlin, Heidelberg: Springer. doi:10.1007/978-3-540-93816-3. ISBN 978-3-540-17015-0. ISSN 0172-5939. 
  2. Todhunter, I. (1886). 《Spherical Trigonometry: For the use of colleges and schools》 (영어) 5판. London: Macmillan and Co. 

외부 링크편집