내부 (위상수학)

(내부점에서 넘어옴)

위상수학에서 내부(內部, 영어: interior)는 원래의 집합에서 경계를 제외하여 얻는 집합이다. 의 내부의 기호는 또는 이다.

정의 편집

위상 공간  의 부분 집합  내부   근방으로 하는 점들로 구성된 집합이다. 즉, 다음 조건을 만족시키는 점  들의 집합이다.

  •  열린집합  가 존재한다.

내부의 원소를 내부점(內部點, 영어: interior point)이라고 한다.

성질 편집

열린집합과의 관계 편집

위상 공간  의 부분 집합  에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

  •  열린집합이다.
  •  
  •  

반대로   의 모든 열린부분집합의 합집합이며, 또한  의 최대 열린부분집합이다.[1]:92-101

폐포와의 관계 편집

내부와 폐포의 포함 관계는 다음과 같다.

 

내부와 폐포는 쌍대 개념이다. 즉, 다음이 성립한다.

 

위상 공간은 그 어떤 부분 집합의 내부와 경계외부로 분할할 수 있다.

 

집합 연산과의 관계 편집

내부는 유한 교집합을 보존한다.

 

그러나 무한 교집합 · 유한 합집합 · 무한 합집합은 보존하지 않으며, 이러한 연산과의 관계식은 다음과 같다.

 
 

기저와의 관계 편집

위상 공간  기저  가 주어졌을 때, 부분 집합   및 점  에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

  •  
  •   가 존재한다.

즉,   에 포함되는 기저 원소들의 합집합이다.

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실수선  의 표준적인 위상은 순서 위상이며, 이는 모든 열린구간을 기저로 한다. 이 경우 내부를 취하는 연산이 무한 교집합을 보존하지 않는 예를 다음과 같이 들 수 있다.

 

또한 내부를 취하는 연산이 합집합을 보존하지 않는 한 가지 예는 다음과 같다.

 

스콧 위상 편집

연속 dcpo   위에 스콧 위상을 부여하였을 때, 임의의  상폐포의 내부는 다음과 같다.[2]:136, Proposition II-1.6

 

증명:

 스콧 열린집합:  상향 집합이며,  라고 하자.  연속 dcpo이므로,   가 존재한다. 즉,  이다.

 : 임의의  상향 집합  가 주어졌으며, 또한  라고 하자.   를 찾으면 족하다.  스콧 열린집합이므로, 상집합이다. 따라서,  이다. 따라서,  공집합이 아니다.

같이 보기 편집

각주 편집

  1. Munkres, James R. (2000). 《Topology》 (영어) 2판. Prentice Hall. ISBN 978-0-13-181629-9. MR 0464128. Zbl 0951.54001. 
  2. Gierz, Gerhard; Hofmann, Karl; Keimel, Klaus; Lawson, Jimmie; Mislove, Michael; Scott, Dana S. (2003). 《Continuous lattices and domains》. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications (영어) 93. Cambridge: Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511542725. ISBN 978-0-521-80338-0. MR 1975381. Zbl 1088.06001. 

외부 링크 편집