구 (기하학)

(球, sphere)는 한 과의 거리가 같은 점들로 이루어진 2차원의 도형이며, 3차원에서 정의된다. '구'라는 이름은 이란 의미의 한자에서 왔지만, 수학에서의 구는 속이 비어 있는 '구면'을, 은 속이 차 있는 '구체'를 가리키는 말이다.

데카르트 좌표계에서는 중심(a, b, c)이고 반지름이 r인 구를

라는 방정식으로 나타낼 수 있다. 두 개의 매개변수 θ ∈ [0, 2π], φ ∈ [0, π]를 이용하여

로 표현할 수도 있다.

구의 부피편집

단면적의 적분을 이용한 증명편집

원의 방정식  을 이용하여 구의 부피를 구해보자.

원의 방정식을  로 한정하면 함수  를 만들 수 있다.

반구의 부피 V는 다음과 같이 반구의 단면적을 적분한 값이다.

 

단면적 함수 A(x)는 함수  의 함숫값을 반지름으로 하여 제곱하고  를 곱한 값이므로

 이다.

따라서  

 이다.

구의 부피는  이므로 반지름이  인 구의 부피 이다.

원통셸 방법을 이용한 증명편집

1사분면 위의 원  을 y축에 대해 회전하여 생긴 회전체인 반구의 부피 V는

 

 

따라서 구의 부피는  이다.

질량 중심파푸스-굴딘 정리를 이용한 증명편집

원의 방정식  의 그래프는 함수  의 그래프이므로,  라 하자. 이때 이 그래프를 x축에 대해 회전했을 때의 회전체인 구의 부피를 구해보자.

먼저, 질량 중심 좌표  를 구한다.

함수  는 y축을 기준으로 좌우대칭이기 때문에,  의 좌표는 0이다.

 

 이므로

질량 중심 좌표  이다.

파푸스-굴딘 정리에 의하여 x축에 대해 한바퀴 회전할 때 회전체의 부피 V는

  (A는 영역의 넓이) 이므로

 이다.

따라서 구의 부피는  이다.

부피비편집

밑면의 반지름이  인 구의 부피는  이고,

밑면의 반지름이  이고, 높이가  원뿔원기둥의 부피는 각각  ,  이다.

 이면 원뿔과 원기둥의 부피는 각각  ,  이 된다.

따라서, 한 변의 길이가  정육면체내접하는 원뿔, 구, 원기둥의 부피의 비는

 

구의 표면적편집

밑면의 넓이가 아주 작고 밑면의 반지름과 높이가 같은 원뿔이 있다고 하자.

그러면 그 원뿔이 한 점을 중심으로 모여 구를 이루었다고 할 수 있으므로 (밑면의 넓이가 작은 원뿔의 부피) : (구의 부피) = (밑면의 넓이가 작은 원뿔의 밑면의 넓이) : (구의 겉넓이)가 된다.

 

따라서 겉넓이  이 된다.

일반화편집

구의 정의를 확장하여  차원의 를 생각할 수 있다. 예를 들어 3차원에서의 구에 해당하는 도형은 2차원에서는 , 1차원에서는 중점을 기준으로 같은 거리만큼 떨어져 있는 두 점이라고 할 수 있다.

수학적으로는 이러한 일반적인 구를  으로 표시하고, 정의는  차원 유클리드 공간에서 중심점과의 거리가 같은 점들의 집합이다. 이 정의에 따라  은 원,  는 구가 된다.

같이 보기편집