구 (기하학)

구(球, sphere)는 한 점과의 거리가 같은 점들로 이루어진 2차원의 도형이며, 3차원에서 정의된다. '구'라는 이름은 공이란 의미의 한자에서 왔지만, 수학에서의 구는 속이 비어 있는 '구면'을, 공은 속이 차 있는 '구체'를 가리키는 말이다.

데카르트 좌표계에서는 중심이 (a, b, c)이고 반지름이 r인 구를

$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=r^{2}$

라는 방정식으로 나타낼 수 있다. 두 개의 매개변수 θ ∈ [0, 2π], φ ∈ [0, π]를 이용하여

$x=a+r\cos \theta \cos \varphi$

$y=b+r\sin \theta \cos \varphi$

$z=c+r\sin \varphi$

로 표현할 수도 있다.

구의 부피

어떤 반구가 y축을 향하여 놓여 있다고 하자.

그러면 그 반구는 원이 y축 방향으로 쌓여 있다고 볼 수 있다.

반구의 부피 V는 다음과 같다.

$V=\int _{0}^{r}\pi x^{2}\,dy$

그럼 원의 방정식을 사용하자.

x²+y²=r²

여기서 V는

$V=\pi \int _{0}^{r}(r^{2}-y^{2})\,dy=[\pi r^{2}y]_{0}^{r}-[\pi {\frac {1}{3}}\ y^{3}]_{0}^{r}=\pi r^{3}-{\frac {1}{3}}\pi r^{3}={\frac {2}{3}}\pi r^{3}$

따라서 구의 부피 = 2V이므로 반지름이 $r$인 구의 부피는 ${\frac {4}{3}}\pi r^{3}$이다. ∎

원뿔, 구, 원기둥의 부피의 비

밑면의 반지름이 $r$인 구의 부피는 ${\frac {4}{3}}\pi r^{3}$이고,

밑면의 반지름이 $r$이고, 높이가 $h$인 원뿔과 원기둥의 부피는 각각 ${\frac {1}{3}}\pi r^{2}h$, $\pi r^{2}h$이다.

$h=2r$이면 원뿔과 원기둥의 부피는 각각 ${\frac {2}{3}}\pi r^{3}$, $2\pi r^{3}$이 된다.

따라서, 한 변의 길이가 $2r$인 정육면체에 내접하는 원뿔, 구, 원기둥의 부피의 비는

${\frac {2}{3}}\pi r^{3}:{\frac {4}{3}}\pi r^{3}:2\pi r^{3}=1:2:3$

구의 표면적

밑면의 넓이가 아주 작고 밑면의 반지름과 높이가 같은 원뿔이 있다고 하자.

그러면 그 원뿔이 한 점을 중심으로 모여 구를 이루었다고 할 수 있으므로 (밑면의 넓이가 작은 원뿔의 부피) : (구의 부피) = (밑면의 넓이가 작은 원뿔의 밑면의 넓이) : (구의 겉넓이)가 된다.

$(1/3)\pi r^{3}:(4/3)\pi r^{3}=\pi r^{2}:S$

따라서 겉넓이 $S=4\pi r^{2}$이 된다. ∎

일반화

구의 정의를 확장하여 n차원의 구를 생각할 수 있다. 예를 들어 3차원에서의 구에 해당하는 도형은 2차원에서는 원, 1차원에서는 중점을 기준으로 같은 거리만큼 떨어져 있는 두 점이라고 할 수 있다.

수학적으로는 이러한 일반적인 구를 Sⁿ으로 표시하고, 정의는 (n + 1)차원 유클리드 공간에서 중심점과의 거리가 같은 점들의 집합이다. 이 정의에 따라 S¹은 원, S²는 구가 된다.

같이 보기

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