구 (기하학)

구(球, sphere)는 한 점과의 거리가 같은 점들로 이루어진 2차원의 도형이며, 3차원에서 정의된다. '구'라는 이름은 공이란 의미의 한자에서 왔지만, 수학에서의 구는 속이 비어 있는 '구면'을, 공은 속이 차 있는 '구체'를 가리키는 말이다.

구

데카르트 좌표계에서는 중심이 (a, b, c)이고 반지름이 r인 구를

$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=r^{2}$

라는 방정식으로 나타낼 수 있다. 두 개의 매개변수 θ ∈ [0, 2π], φ ∈ [0, π]를 이용하여

$x=a+r\cos \theta \cos \varphi$

$y=b+r\sin \theta \cos \varphi$

$z=c+r\sin \varphi$

로 표현할 수도 있다.

구의 부피

단면적의 적분을 이용한 증명

원의 방정식 $x^{2}+y^{2}=r^{2},(y\geq 0)$을 이용하여 구의 부피를 구해보자.

원의 방정식을 $y\geq 0$로 한정하면 함수 $y={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}$를 만들 수 있다.

반구의 부피 V는 다음과 같이 반구의 단면적을 적분한 값이다.

$V=\int _{0}^{r}A(x)dx$

단면적 함수 A(x)는 함수 $y={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}$의 함숫값을 반지름으로 하여 제곱하고 $\pi$를 곱한 값이므로

$A(x)=\pi (r^{2}-x^{2})$이다.

따라서 $V=\int _{0}^{r}A(x)dx=\int _{0}^{r}\pi (r^{2}-x^{2})dx$

$=[\pi r^{2}x]_{0}^{r}-[\pi {\frac {1}{3}}\ x^{3}]_{0}^{r}=\pi r^{3}-{\frac {1}{3}}\pi r^{3}={\frac {2}{3}}\pi r^{3}$이다.

구의 부피는 $2V$이므로 반지름이 $r$인 구의 부피는 ${\frac {4}{3}}\pi r^{3}$이다.

원통셸 방법을 이용한 증명

1사분면 위의 원 $y={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}(x\geq 0)$을 y축에 대해 회전하여 생긴 회전체인 반구의 부피 V는

$V=\int _{0}^{r}2\pi x{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}dx$

$=-{\frac {2}{3}}\pi [(r^{2}-x^{2})^{\frac {3}{2}}]_{0}^{r}=-{\frac {2}{3}}\pi (0-r^{3})={\frac {2}{3}}\pi r^{3}$

따라서 구의 부피는 $2V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}$이다.

질량 중심 및 파푸스-굴딘 정리를 이용한 증명

원의 방정식 $x^{2}+y^{2}=r^{2}(y\geq 0)$의 그래프는 함수 $y={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}$의 그래프이므로, $y=f(x)={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}$라 하자. 이때 이 그래프를 x축에 대해 회전했을 때의 회전체인 구의 부피를 구해보자.

먼저, 질량 중심 좌표 $({\bar {x}},{\bar {y}})$를 구한다.

함수 $f(x)$는 y축을 기준으로 좌우대칭이기 때문에, ${\bar {x}}$의 좌표는 0이다.

${\bar {y}}={\frac {{\frac {1}{2}}(\int _{-r}^{r}r^{2}-x^{2}dx)}{{\frac {1}{2}}\pi r^{2}}}={\frac {(\int _{-r}^{r}r^{2}-x^{2}dx)}{\pi r^{2}}}$

$={\frac {\frac {4r^{3}}{3}}{\pi r^{2}}}={\frac {4r}{3\pi }}$이므로

질량 중심 좌표 $({\bar {x}},{\bar {y}})=(0,{\frac {4r}{3\pi }})$이다.

파푸스-굴딘 정리에 의하여 x축에 대해 한바퀴 회전할 때 회전체의 부피 V는

$V=2\pi {\bar {y}}\mathrm {A}$ (A는 영역의 넓이) 이므로

$V=2\pi \cdot {\frac {4r}{3\pi }}\cdot {\frac {1}{2}}\pi r^{2}={\frac {4}{3}}\pi r^{3}$이다.

따라서 구의 부피는 ${\frac {4}{3}}\pi r^{3}$이다.

부피비

밑면의 반지름이 $r$인 구의 부피는 ${\frac {4}{3}}\pi r^{3}$이고,

밑면의 반지름이 $r$이고, 높이가 $h$인 원뿔과 원기둥의 부피는 각각 ${\frac {1}{3}}\pi r^{2}h$, $\pi r^{2}h$이다.

$h=2r$이면 원뿔과 원기둥의 부피는 각각 ${\frac {2}{3}}\pi r^{3}$, $2\pi r^{3}$이 된다.

따라서, 한 변의 길이가 $2r$인 정육면체에 내접하는 원뿔, 구, 원기둥의 부피의 비는

${\frac {2}{3}}\pi r^{3}:{\frac {4}{3}}\pi r^{3}:2\pi r^{3}=1:2:3$

구의 표면적

밑면의 넓이가 아주 작고 밑면의 반지름과 높이가 같은 원뿔이 있다고 하자.

그러면 그 원뿔이 한 점을 중심으로 모여 구를 이루었다고 할 수 있으므로 (밑면의 넓이가 작은 원뿔의 부피) : (구의 부피) = (밑면의 넓이가 작은 원뿔의 밑면의 넓이) : (구의 겉넓이)가 된다.

${\frac {1}{3}}\pi r^{3}:{\frac {4}{3}}\pi r^{3}=\pi r^{2}:S$

따라서 겉넓이 $S=4\pi r^{2}$이 된다.

일반화

구의 정의를 확장하여 $n$차원의 구를 생각할 수 있다. 예를 들어 3차원에서의 구에 해당하는 도형은 2차원에서는 원, 1차원에서는 중점을 기준으로 같은 거리만큼 떨어져 있는 두 점이라고 할 수 있다.

수학적으로는 이러한 일반적인 구를 $S^{n}$으로 표시하고, 정의는 $(n+1)$차원 유클리드 공간에서 중심점과의 거리가 같은 점들의 집합이다. 이 정의에 따라 $S^{1}$은 원, $S^{2}$는 구가 된다.

같이 보기

• 원