상수층

층 이론에서, 상수층(常數層, 영어: constant sheaf)은 모든 줄기가 같은 층이다.

정의

위치 $X$ 및 집합 $S$에 대하여, $S$값을 갖는 상수 준층(영어: constant presheaf)은 다음과 같은 함자 $X^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Set}$이다.

• $X$의 모든 대상 $U$는 $S$로 대응된다.
• $X$의 모든 사상은 $S$의 항등 함수 $\operatorname {id} _{S}$로 대응된다.

위치 $X$ 및 집합 $S$에 대하여, $S$값을 갖는 상수층 ${\underline {S}}$은 상수 준층의 층화이다.

덮개의 개념이 존재하는 위치 $X$ 위의 층 ${\mathcal {F}}$에 대하여, 만약 $X$의 모든 대상 $U\in \operatorname {Ob} (X)$에 대하여 다음 조건을 만족시키는 $U$의 덮개 $\{U_{i}\}_{i\in I}$가 존재한다면, ${\mathcal {F}}$를 국소 상수층(영어: locally constant sheaf)이라고 한다.

• 모든 $i\in I$에 대하여, ${\mathcal {F}}|_{U_{i}}$는 상수층이다. 즉, ${\mathcal {F}}|_{U_{i}}={\underline {S_{i}}}$인 집합 $S_{i}$가 존재한다.

성질

만약 $X$가 위상 공간일 경우, ${\underline {S}}$는 ($S$에 이산 위상을 주었을 때) 연속 함수 $X\to S$들의 층이다. 이 경우, ${\underline {S}}$의 모든 점에서의 줄기는 $S$이다.

예

그로텐디크 토포스 $\operatorname {Sh} (X)$에서, 자연수 대상은 자연수의 집합 $\mathbb {N}$의 값을 갖는 상수층 ${\underline {\mathbb {N} }}$이다.

상수층 ${\underline {\mathbb {Z} }}$에 대한 가군층은 아벨 군의 층과 같다.

참고 문헌

• Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 52. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001. 

외부 링크

• “Constant sheaf”. 《nLab》 (영어). 2015년 2월 13일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 2월 24일에 확인함. 
• “Constant presheaf”. 《nLab》 (영어). 2015년 2월 25일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 2월 24일에 확인함. 
• “Locally constant sheaf”. 《nLab》 (영어). 2015년 2월 25일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 2월 24일에 확인함.