군의 표현

(군 표현에서 넘어옴)

군의 표현(表現, 영어: representation)은 군론에서, 벡터 공간일반선형군의 부분군으로 나타내는 군 준동형이다. 이를 사용하여, 군론의 문제를 선형대수학적 기법으로 다룰 수 있다.

정의

편집

G K 상의 벡터 공간 V에 대한 표현G에서 일반선형군 GL(V) 로의 군 준동형을 말한다. 즉, 표현이란 다음의 사상

 

로서 G의 임의의 원소 g1g2 에 대하여 아래의 두 조건을 만족하는 것을 말한다.

  1.  
  2.  

여기서, eG의 항등원, 1 은 GL(V)의 항등원이다. 즉, 항등원은 항등원으로 대응되고, 군의 구조가 보존이 되는 것을 요구한다.

만약 표현이 단사 함수라면, 충실한 표현(忠實한表現, 영어: faithful representation)이라고 한다.

표현으로 얻어지는 연산자들이 작용하는 벡터 공간 V표현 공간(영어: representation space)이라 하고, V의 (벡터 공간으로서의) 차원을 이 표현의 차원(dimension) 이라고 한다. 기호의 남용으로서, G에서 GL(V) 로의 사상이 무엇인지가 명확할 때에는 VG의 표현이라 부르기도 한다.

V 가 유한한 차원 n 일 때에는 n차수(degree)라 부르기도 한다. 이 때에는, V기저를 하나 선택하여 GL(V)를 K 상의 n×n 가역행렬들의 군 GL(n, K) 와 동일시하는 것이 일반적이다.

G위상군이고 V위상 벡터 공간일 경우, GV에 대한 표현 D연속 표현(連續表現, 영어: continuous representation)이라는 것은

 

로 정의된 함수 Φ 가 연속 함수인 경우를 말한다.

동등한 표현

편집

두 표현 D1 : G → GL(V1) 와 D2 : G → GL(V2) 가 동등하다는 것은 벡터 공간 V1V2 사이에 동형 사상 A : V1V2 가 있어, G의 모든 원소 g에 대해

 

를 만족하는 것을 말한다. 만약 두 표현의 표현 공간이 같은 경우, 위는 간단히

 

로 쓸 수 있다. 여기서 연산자 A엮음 연산자(영어: intertwining operator)라 하기도 한다.

불변 부분 공간과 기약 표현

편집

벡터 공간 V의 부분 공간 W 가 군 G작용에 대해 불변(不變, 영어: invariant)이라는 것은 부분 공간 위의 임의의 벡터에 어떠한 D(g)를 작용시켜도 벡터가 부분 공간 위에 남아있는 부분 공간을 말한다. 즉, G의 모든 원소 g에 대해

 

이 성립하면 W불변부분공간(不變部分空間, invariant subspace)이라 한다.

약분 가능 표현(영어: reducible representation)은 불변 부분 공간이 존재하는 표현이다. 약분 가능 표현이 아닌 표현은 기약 표현이라고 한다.

응용

편집

군 표현론은 물리학에서 물리적 계의 대칭군과 그 계를 기술하는 방정식의 해의 관계를 탐구하면서 널리 응용된다. 특히, 양자역학에서, 상태공간인 힐베르트 공간은 계의 대칭군의 표현을 이룬다.

같이 보기

편집

참고 문헌

편집

외부 링크

편집