일반화 페테르센 그래프
그래프 이론에서 일반화 페테르센 그래프(一般化Petersen graph, 영어: generalized Petersen graph)는 같은 수의 꼭짓점을 갖는 정다각형과 별 모양에서 대응하는 꼭짓점들을 이어 얻는 그래프이다. 특히, 오각형과 오각 별을 이어 얻는 그래프를 페테르센 그래프(영어: Petersen graph)라고 한다.[1]
정의
편집3 이상의 정수 과, 의 배수가 아닌 정수 , 가 주어졌다고 하자. 또한, 만약 이 짝수라면 라고 하자.
일반화 페테르센 그래프 는 다음과 같은 그래프이다.
여기서 첨자는 법 으로 계산한다. 즉, 및 로 간주한다. 일반화 페테르센 그래프의 변 가운데, 꼴의 변을 바큇살(영어: spoke)이라고 한다.
당연히
이므로, 보통
를 가정한다.
성질
편집기초적 성질
편집일반화 페테르센 그래프 는 개의 꼭짓점과 개의 변을 가지는 삼차 그래프이며, 완벽 부합을 갖는다. 구체적으로, 위와 같은 표기에서, 은 완벽 부합을 이룬다.
동형
편집임의의 정수 및 정수 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[2]:Proposition 9[3]
예를 들어, 이다.
안둘레
편집일반화 페테르센 그래프 의 안둘레는 항상 이하이다.[4]:Theorem 2.1
또한, 다음이 성립한다.
증명:
위 상계 가운데 적어도 하나가 포화된다. 즉, 만약 이며,
일 때, 일반화 페테르센 그래프 의 안둘레는 다음 표에서, 위에서부터 가장 먼저 해당하는 행에 의해 주어진다.[4]:Theorem 2.8
조건 안둘레 3 4 5 6 7 그 밖의 경우 8
증명:
일반화 페테르센 그래프의 꼭짓점 및 변은
이다. 일반화 페테르센 그래프 속의 모든 순환은 당연히 짝수 개의 바큇살 을 포함한다.
모든 일반화 페테르센 그래프는 4개의 바큇살을 갖는 길이 8의 순환
을 가지며, 바큇살 6개 이상의 순환의 길이는 항상 12 이상이다. 따라서, 2개의 바큇살 및 0개의 바큇살을 갖는 순환들만 고려하면 된다.
2개의 바큇살을 갖는 순환은 (편의상 첫 변을 로 잡으면) 항상 다음과 같은 꼴이다.
이것이 존재하기 위해서는 이어야 하며, 이 경우 순환의 길이는 이다.
- 가 최솟값이어야 하므로, 및 인 경우만 고려해도 된다.
- 인 경우: 인 경우가 최적이며, 이 경우 순환의 길이는 이다.
- 인 경우:
- 만약 인 경우, 이다. 따라서, 이 경우 는 최솟값을 갖지 못한다.
- 만약 일 경우, 이 경우 0개의 바큇살을 갖는 길이 의 순환이 더 짧다.
- 만약 일 경우, 이다.
- 위 경우를 제외하면, 이러한 순환의 길이가 8 미만인 경우는 남는 것은 이다.
0개의 바큇살을 갖는 순환은 또는 로만 구성된다. 만으로 구성되는 유일한 순환의 길이는 이며, 만으로 구성되는 순환의 길이는 이다.
- 후자의 길이가 7 이하가 되려면, 가능한 경우는 이다.
케일리 그래프
편집일반화 페테르센 그래프 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[5]
예를 들어, 나우루 그래프 의 경우 이며, 이는 대칭군 의 케일리 그래프이다. 마찬가지로, 각기둥 그래프 는 크기 의 정이면체군 의 케일리 그래프이다. 반면, 페테르센 그래프 는 케일리 그래프가 아니다.
꼭짓점 색칠
편집일반화 페테르센 그래프는 삼차 그래프이므로, 브룩스 정리(영어: Brooks’ theorem)에 의하여 그 색칠수는 2 또는 3이다. 일반화 페테르센 그래프 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
다시 말해, 일반화 페테르센 그래프 의 색칠수는 다음과 같다.
여기서 는 논리곱(AND), 는 논리합(OR)이다. 예를 들어, 페테르센 그래프 의 색칠수는 3이다.
변 색칠
편집페테르센 그래프의 변 색칠수는 4이다.[6] 페테르센 그래프는 변 색칠수가 4 이상인 가장 작은 삼차 그래프이다. 반면, 페테르센 그래프가 아닌 다른 모든 일반화 페테르센 그래프의 변 색칠수는 3이다.[7]
일반화 페테르센 그래프 는 (색들의 순열을 무시하면) 유일한 3색 변 색칠을 갖는다.
해밀턴 경로
편집임의의 일반화 페테르센 그래프 ( , )에 대하여, 다음 두 가지 가운데 정확히 하나가 성립한다.[8]
- (가) 해밀턴 순환을 갖는다.
- (나) 이며, 이다.
또한, (나)의 경우, 임의의 꼭짓점을 제거하면 이는 해밀턴 순환을 갖는다. (특히, 모든 일반화 페테르센 그래프는 항상 해밀턴 경로를 갖는다.)
예를 들어, 페테르센 그래프 는 해밀턴 경로를 가지지만, (나)의 경우에 해당하므로 해밀턴 순환을 가지지 못한다.
-
일반화 페테르센 그래프 속의 해밀턴 순환. 해밀턴 순환에 속하는 변들은 굵게 칠해졌다.
-
정십이면체 그래프 속의 해밀턴 순환. 해밀턴 순환에 속하는 변들은 붉은 색으로 굵게 칠해졌다.
교차수
편집각기둥 그래프인 일반화 페테르센 그래프 은 평면 그래프이다. 즉, 그래프 교차수가 0이다.
페테르센 그래프 의 그래프 교차수는 2이다. 나우루 그래프 의 그래프 교차수는 8이다. 특히, 이 두 그래프 둘 다 평면 그래프가 아니다.
평면 그래프가 아닌 모든 그래프는 완전 그래프 또는 완전 이분 그래프 를 그래프 마이너로 가지는데, 페테르센 그래프 는 이 둘 다를 그래프 마이너로 갖는다.
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오각기둥 그래프 의 교차수는 0이다.
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페테르센 그래프 의 교차수는 2이다.
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나우루 그래프 의 교차수는 8이다.
예
편집일부 일반화 페테르센 그래프는 다음과 같은 특별한 이름을 갖는다.
- 페테르센 그래프는 일반화 페테르센 그래프 이다. 이는 완전 그래프 의 선 그래프의 여 그래프와 동형이다.
- 뒤러 그래프(영어: Dürer graph)는 일반화 페테르센 그래프 이다.
- 일반화 페테르센 그래프 는 정십이면체의 꼭짓점 및 변들로 구성된 그래프와 같다.
- 데자르그 그래프(영어: Desargues graph)는 일반화 페테르센 그래프 이다.
- 일반화 페테르센 그래프 는 각형 각기둥의 꼭짓점 및 변들로 구성된 그래프와 같다.
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일반화 페테르센 그래프
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일반화 페테르센 그래프 (정육면체 그래프)
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일반화 페테르센 그래프
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페테르센 그래프
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일반화 페테르센 그래프
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뒤러 그래프
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일반화 페테르센 그래프
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일반화 페테르센 그래프
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정십이면체 그래프
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데자르그 그래프
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일반화 페테르센 그래프
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나우루 그래프
역사
편집독일의 판화가 알브레히트 뒤러의 1514년 판화 《멜란콜리아 1》(독일어: Melancholia Ⅰ)에는 다면체가 등장하는데, 그 꼭짓점과 변으로 구성된 그래프는 뒤러 그래프이다.
1898년에 덴마크의 수학자 율리우스 페테르센이 이 그래프를 다룬 3쪽의 논문을 출판하였으며,[9]:227, Fig. 5 이로부터 명명되었다. 페테르센은 이 그래프를 다음과 같은 (잘못된) 추측에 대한 반례로 제시하였다.
“데자르그 그래프”라는 이름은 프랑스의 수학자 지라르 데자르그의 이름을 딴 것이다. 데자르그가 연구한 사영기하학의 한 정리에서 등장하는 작도에서, 각 직선과 각 점에 그래프 꼭짓점을 대응시키며, 서로 인접하는 점과 직선(에 대응하는 두 꼭짓점) 사이를 변으로 이으면, 이는 데자르그 그래프가 된다.
해럴드 스콧 맥도널드 콕서터는 1950년에 일반화 페테르센 그래프를 도입하였다.[10]:418, §2 콕서터는 일반화 페테르센 그래프 를 로 표기하였으며, 이에 특별한 이름을 부여하지 않았다.
1969년에 마크 왓킨스(영어: Mark E. Watkins)가 이 그래프 족을 “일반화 페테르센 그래프”(영어: generalized Petersen graph)라고 명명하였다.[11]
“나우루 그래프”(영어: Nauru graph)라는 이름은 데이비드 아서 엡스타인(영어: David Arthur Eppstein)이 도입하였으며, 이 그래프의 구성에 등장하는 12각 별 모양이 나우루의 국기에 등장하는 별과 흡사하기 때문에 붙여졌다.
각주
편집- ↑ Holton, D. A.; Sheehan, J. (1993). 《The Petersen graph》. Cambridge University Press. doi:10.2277/0521435943. ISBN 0-521-43594-3.
- ↑ Boben, Marko; Pisanski, Tomaž; Žitni, Arjana (2005년 11월). “I-graphs and the corresponding configurations” (PDF). 《Journal of Combinatorial Designs》 (영어) 13 (6): 406–424. doi:10.1002/jcd.20054. 2018년 7월 23일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2017년 7월 5일에 확인함.
- ↑ Steimle, Alice; Staton, William (2009년 1월 6일). “The isomorphism classes of the generalized Petersen graphs”. 《Discrete Mathematics》 (영어) 309 (1): 231–237. doi:10.1016/j.disc.2007.12.074.
- ↑ 가 나 Ferrero, Daniela; Hanusch, Sarah (2014). “Component connectivity of generalized Petersen graphs” (PDF). 《International Journal of Computer Mathematics》 (영어) 91 (9): 1940–1963. doi:10.1080/00207160.2013.878023. ISSN 0020-7160. 2018년 10월 20일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2017년 7월 5일에 확인함.
- ↑ Nedela, Roman; Škoviera, Martin (1995년 1월). “Which generalized petersen graphs are Cayley graphs?”. 《Journal of Graph Theory》 (영어) 19 (1): 1–11. doi:10.1002/jgt.3190190102.
- ↑ Naserasr, Reza; Škrekovski, Riste (2003년 7월 6일). “The Petersen graph is not 3-edge-colorable—a new proof”. 《Discrete Mathematics》 (영어) 268 (1–3): 325–326. doi:10.1016/S0012-365X(03)00138-9.
- ↑ Castagna, Frank; Prins, Geert Caleb Ernst (1972). “Every generalized Petersen graph has a Tait coloring”. 《Pacific Journal of Mathematics》 (영어) 40 (1). doi:10.2140/pjm.1972.40.53. ISSN 0030-8730. MR 304223. Zbl 0236.05106.
- ↑ Alspach, Brian R. (1983). “The classification of Hamiltonian generalized Petersen graphs”. 《Journal of Combinatorial Theory B》 (영어) 34: 293–312. doi:10.1016/0095-8956(83)90042-4. MR 0714452.
- ↑ Petersen, Julius Peter Christian (1898). “Sur le théorème de Tait”. 《L’Intermédiaire des Mathématiciens》 (프랑스어) 5: 225–227.
- ↑ Coxeter, Harold Scott MacDonald (1950). “Self-dual configurations and regular graphs”. 《Bulletin of the American Mathematical Society》 (영어) 56 (5): 413–455. doi:10.1090/S0002-9904-1950-09407-5.
- ↑ Watkins, Mark E. (1969). “A theorem on Tait colorings with an application to the generalized Petersen graphs”. 《Journal of Combinatorial Theory》 (영어) 6: 152–164. doi:10.1016/S0021-9800(69)80116-X.
외부 링크
편집- “Petersen graph”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Generalized Petersen graph”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Petersen graph”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Desargues graph”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Nauru graph”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Dürer graph”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Möbius–Kantor graph”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Dodecahedral graph”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Prism graph”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Eppstein, David Arthur (2007년 12월 12일). “The many faces of the Nauru graph”. 《11011110》 (영어).
- Dobson, Edward (2011년 5월 9일). “The isomorphism classes of all generalized Petersen graphs” (PDF) (영어). 프리모르스카 대학교(슬로베니아어: Univerza na Primorskem) 세미나.