꼬리 시그마 대수

확률론에서 꼬리 사건(꼬리事件, 영어: tail event)은 어떤 확률 변수들의 열이 주어졌을 때, 처음 유한 개의 변수들의 값들을 잊더라도 나머지 ‘꼬리’만으로 그 여부를 결정할 수 있는 사건이며, 꼬리 시그마 대수(꼬리σ代數, 영어: tail sigma-algebra)는 이러한 사건들로 구성된 시그마 대수이다. 콜모고로프 0-1 법칙(Колмогоров0-1法則, 영어: Kolmogorov zero–one law)에 따르면, 모든 꼬리 사건들은 거의 확실하게 발생하거나 거의 확실하게 발생하지 못한다 (즉, 그 확률이 0 또는 1이다).

정의

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다음이 주어졌다고 하자.

또한,  가 서로 독립이라고 하자. 즉, 임의의 유한 부분 집합  에 대하여,

 

이다.

이제, 가측 집합  가 다음 조건을 만족시킨다면, 이를 꼬리 사건(영어: tail event)이라고 한다.

  • 임의의 유한 집합  에 대하여,  

꼬리 사건들로 생성되는 시그마 대수를

 

라고 하며,  꼬리 시그마 대수라고 한다. 즉, 풀어 쓴다면, 꼬리 사건은 어떤 확률 변수들(로 정의되는 시그마 대수)의 열이 주어졌을 때, 유한 개의 첫 원소를 제외한 나머지 ‘꼬리’만으로도 그 여부를 결정할 수 있는 사건이다.

성질

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콜모고로프 0-1 법칙에 따르면, 꼬리 사건의 확률은 0 또는 1이다.

증명:

임의의 유한 부분 집합  에 대하여, 꼬리 시그마 대수  

 

이므로,  는 서로 독립인 시그마 대수들의 족이다. 독립성은 유한 부분 집합에 대하여 정의되므로,

 

는 서로 독립인 시그마 대수들의 족이다. 특히,  

 

와 독립이다. 그런데

 

이다. 따라서,  는 스스로와 독립이다. 그 모든 원소  에 대하여

 

이며,  의 두 해는 0 및 1이다. 따라서,  이다.

이 정리는 만약  가 유한 집합일 경우 자명하게 참이다. (이 경우   의 부분 시그마 대수이게 된다.)

같이 보기

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외부 링크

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