끌개

이상한 끌개의 예 (뢰슬러 끌개)

동역학계 이론에서, 끌개(영어: attractor)는 동역학계의 시간 변화에 따라서 초기 상태에 상관없이 최종 상태가 근접하게 되는 일련의 구역들이다.

정의

상태 공간이 위상 공간 $X$인 계에서, 초기 상태 $x\in X$가 시간 $t$가 지나면 $x_{t}\in X$에 있게 된다고 하자. 시간 $t$는 계에 따라서 $t\in [0,\infty )$이거나 $t\in \mathbb {N}$이다.

이 계의 끌개란 다음 세 조건들을 만족시키는, 상태 공간의 부분공간 $A\subset X$이다.

1. 만약 $x\in A$라면, 모든 $t\geq 0$에 대하여 $x_{t}\in A$이다.
2. $A$의 어떤 열린 근방 $U\supset A$에 대하여, $x\in U$라면 충분히 큰 $t$에 대하여 $x_{t}\in A$이다.
3. $A$의 어떤 진부분집합도 위 두 조건을 만족시키지 않는다.

끌개 $A$의 끌림 영역(영어: basin of attraction) $B(A)$는 충분한 시간이 지나면 $A$로 빨려 들어가는 초기 상태들의 집합이며, 정의에 따라 $A$의 근방이다.

$B(A)=\{x\in X\colon \exists t\colon x_{t}\in A\}$

분류

극한 주기 궤도의 예

로렌즈 끌개는 이상한 끌개의 대표적인 예이다.

끌개는 그 모양에 따라서 다음과 같이 분류된다.

• 하나의 점만을 포함하는 끌개는 고정점(영어: fixed point)이라고 한다.
• 원과 위상동형인 끌개는 극한 주기 궤도(極限週期軌道, 영어: limit cycle)라고 한다.
• 마찬가지로, 원환면과 위상동형인 끌개는 극한 원환면(極限圓環面, 영어: limit torus)이라고 한다.
• 유한개의 간단한 기하학적 모양 (초구, 원환면, 원환체 등)의 합집합으로 나타낼 수 없는, 프랙털 구조를 가진 끌개를 이상한 끌개(영어: strange attractor)라고 한다.

예

로렌즈 끌개, 뢰슬러 끌개(Rössler attractor), 뉴턴의 방법

참고 문헌

• Ott, Edward. “Basin of attraction”. 《Scholarpedia》 1 (8): 1701. doi:10.4249/scholarpedia.1701. 

외부 링크

• “Strange attractor”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Attractor”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Strange attractor”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Basin of attraction”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.