끝 (위상수학)

일반위상수학에서, 끝(영어: end)은 대략 어떤 위상 공간의 "경계"의 "연결 성분"을 뜻한다. 구체적으로, 점점 더 큰 콤팩트 집합을 잘라냈을 때 남는 연결 성분들의 사영 극한이다.

정의

위상 공간 $X$이 주어졌다고 하자. 그 속의 모든 콤팩트 집합들의 부분 순서 집합 $\operatorname {Comp} (X)$를 생각하자.

이제, 임의의 콤팩트 집합 $K\subseteq X$에 대하여, 그 여집합의 연결 성분들의 집합

$\pi _{0}(X\setminus K)$

을 생각할 수 있다. 각 포함 사상 $K\subseteq K'\subseteq X$에 대하여 자연스러운 함수

$\pi _{0}(X\setminus K')\to \pi _{0}(X\setminus K)$

$C'\mapsto C\iff C'\subseteq C\qquad \forall C\in \pi _{0}(X\setminus K),\;C'\in \pi _{0}(X\setminus K')$

가 존재한다. 이에 따라, 사영 극한

$\operatorname {Ends} (X)=\varprojlim _{K\in \operatorname {Comp} (X)}\pi _{0}(X\setminus K)$

를 취할 수 있다. $\operatorname {Ends} (X)$를 $X$의 끝들의 집합이라고 한다.

끝 콤팩트화

위상 $X$가 주어졌을 때, 분리합집합 $X\sqcup \operatorname {Ends} (X)$에 다음과 같은 기저로 생성되는 위상을 줄 수 있다.

$\operatorname {Open} (X)\cup \left\{U\sqcup \{e\}\colon U\in \operatorname {Open} (X),\;e\in \operatorname {Ends} (X),\;\exists K\in \operatorname {Comp} (K)\colon e_{K}\subseteq U\right\}$

여기서 $\operatorname {Open} (X)$는 $X$의 열린집합들의 족이다.

이를 $X$의 끝 콤팩트화(끝compact化, 영어: end compactification)라고 하며, 이는 항상 콤팩트 공간이다.

성질

다음과 같은 두 범주를 생각하자.

• $\operatorname {Top_{prop}}$은 그 대상이 위상 공간이며, 그 사상이 연속 고유 함수인 범주이다.
• $\operatorname {Set}$은 집합과 함수의 범주이다.

그렇다면, 끝 집합은 함자

$\operatorname {Ends} \colon \operatorname {Top_{prop}} \to \operatorname {Set}$

를 정의한다. 구체적으로, 임의의 연속 고유 함수 $f\colon X\to X'$ 및 끝 $(C_{K})_{K\in \operatorname {Comp} (X)}$에 대하여,

$\operatorname {Ends} (f)\colon (C_{K})_{K\in \operatorname {Comp} (X)}\mapsto \left(f_{*,K'}C_{f^{-1}(K')}\right)_{K'\in \operatorname {Comp} (X')}$

이다. 여기서

$f_{*,K'}\colon \pi _{0}(X\setminus f^{-1}(K'))\to \pi _{0}(X'\setminus K')$

는 $f$로 유도되는 표준적인 함수이다.

위상군

경로 연결 위상군은 두 개 이하의 끝을 갖는다.^{:Theorem 2}

예

콤팩트 공간은 (정의에 따라) 끝을 갖지 않으며, 그 끝 콤팩트화는 스스로와 같다.

실수선은 두 개의 끝을 가지며, 그 끝 콤팩트화는 확장된 실수의 공간이다. 2차원 이상의 유클리드 공간은 하나의 끝을 가지며, 그 끝 콤팩트화는 같은 차원의 초구이다.

콤팩트 다양체 $M$ 속에 유한 개의 점 $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\in M$을 고르자. 그렇다면, $M\setminus \{x_{1},\dots ,x_{n}\}$은 $n$개의 끝을 갖는다. 그 끝 콤팩트화는 원래의 다양체 $M$이다.

역사

끝의 개념은 한스 프로이덴탈이 1931년에 도입하였다.

외부 링크

• “End compactification”. 《nLab》 (영어). 
• “Freudenthal compactification”. 《Mathematical Notes》 (영어). 
• “Ends of topological spaces. Why independent of choice of ascending sequence of compact subsets?” (영어). Math Overflow.