미분기하학에서, 내부곱(內部곱, 영어: interior product)은 벡터장미분 형식 사이에 정의되는, 일종의 대수적 미분 연산이다. 기호는 또는 .

정의편집

매끄러운 다양체   위의 내부곱

 
 

벡터장미분 형식을 곱하여 미분 형식을 만드는 연산이며, 다음과 같이 두 가지로 정의될 수 있다. ( 는 간혹  로 표기되기도 한다. 이에 대응하는 유니코드 기호는 U+2A3C ⨼이다.)

공리적 정의편집

  위의 내부곱

 

은 다음 세 조건을 만족시키는 유일한 연산이다.

  • (차수 −1) 벡터장   및 동차 미분 형식  에 대하여,  
  • (곱의 법칙) 벡터장  에 대하여,  외대수 위의 미분 등급 대수를 이룬다. 즉, 임의의   에 대하여, 다음이 성립한다.
     
  • (1차 미분 형식의 경우) 1차 미분 형식에 대하여 내부곱은 단순히 벡터장과의 축약이다. 즉, 임의의 벡터장  1차 미분 형식  에 대하여, 다음이 성립한다.
     

구체적 정의편집

  위의 내부곱

 

은 다음과 같이 정의되는 연산이다.[1]:§5.4.3[2]:43, Exercise 3.3

 

성질편집

임의의 미분 형식   및 두 벡터장  에 대하여, 다음이 성립한다.

 

특히,

 

이다.

리 미분과의 관계편집

카르탕 마법 공식(Cartan魔法公式, 영어: Cartan’s magic formula)에 따르면, 임의의 벡터장  미분 형식  에 대하여 다음이 성립한다.

 

여기서  리 미분이다.

또한, 임의의 두 벡터장  미분 형식  에 대하여, 다음이 성립한다.

 

역사편집

내부곱의 개념과 용어(독일어: inner Produkt)는 헤르만 그라스만이 도입하였다.[3]:§4.1, 107–112

참고 문헌편집

  1. Nakahara, Mikio (2003년 6월 4일). 《Geometry, topology, and physics》. Institute of Physics Graduate Student Series in Physics (영어) 2판. CRC Press. ISBN 978-0-75030606-5. 
  2. Lee, John M. (1997). 《Riemannian manifolds: an introduction to curvature》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 176. Springer-Verlag. doi:10.1007/b98852. ISBN 978-0-387-98322-6. 
  3. Grassmann, Hermann (1862). 《Die Ausdehnungslehre. Vollständig und in strenger Form bearbeitet》 (독일어). 베를린: Verlag von Th. Chr. Fr. Enslin. 

외부 링크편집