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추상대수학에서, 미분 대수(微分代數, 영어: differential algebra)는 곱의 법칙을 만족하는 자기 선형 변환이 갖추어진 결합 대수이다. 해석학에서의 미분 연산을 공리화한 개념이다.

목차

정의편집

미분편집

다음이 주어졌다고 하자.

  • 가환환  
  •   위의 결합 대수  
  •  -쌍가군  . 또한, 왼쪽과 오른쪽  -작용이 서로 일치한다고 하자 ( ). (다시 말해,    위의 왼쪽 가군이다.)

그렇다면,   값의,   위의 미분(微分, 영어: derivation)은 다음과 같은  -선형 변환이다.

 

이는 다음과 같은 곱의 법칙을 만족시켜야 한다.

 

흔히,  를 사용한다.

미분 대수편집

미분 대수  는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

  • 가환환  
  •   위의 결합 대수  
  • 미분을 이루는 자기 사상  . (이는 결합 대수 준동형이 될 필요가 없다.)

특히, 정수환   위의 결합 대수이므로, 만약   (정수환)인 경우, 그 위의 미분 대수를 미분환(微分環,영어: differential ring)이라고 한다. 또한,  이며  를 이루는 경우,  미분체(微分體, 영어: differential field)라고 한다.

만약 미분 대수의 개념에, 등급을 주어 일반화하면 미분 등급 대수의 개념을 얻는다.

미분 대수 준동형편집

같은 가환환   위의 두 미분 대수  ,  가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 미분 대수 준동형(微分代數準同形, 영어: differential algebra homomorphism)은 대수 구조로서의 준동형이다. 즉,  -결합 대수 준동형  가 다음 조건들을 만족시킨다면, 미분 대수 준동형을 이룬다.

 

미분체 확대(微分體擴大, 영어: differential field extension)는 두 미분체 사이의 미분 대수 준동형이다. 이는 체의 확대이므로 항상 단사 함수이다.

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교환자편집

가환환   위의 결합 대수  의 원소  가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 교환자

 

를 정의한다면  는 다음과 같이 미분 대수를 이룬다.

 

다항식환편집

 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다항식환   위에 다음과 같은 선형 변환  을 정의할 수 있다.

 

그렇다면  는 미분 대수를 이룬다.

매끄러운 함수편집

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

그렇다면,   위의 실수 값 매끄러운 함수들의 집합  를 생각하자. 이는 실수 벡터 공간을 이루며, 또한 점별 합과 곱에 대하여 실수 결합 대수를 이룬다.

벡터장은   위에 미분 연산자로 작용한다. 국소 좌표계로 표현하면 다음과 같다.

 

그렇다면,  는 미분 대수를 이룬다.

리 대수편집

가환환   위의 리 대수  가 주어졌다고 하자.   위의 미분  은 다음 조건을 만족시키는  -선형 변환이다.

 

이 경우,   보편 포락 대수   위에 자연스럽게 다음과 같이 확장된다.

 

그렇다면,  는 미분 대수를 이룬다.

참고 문헌편집

같이 보기편집

외부 링크편집