미분 대수

추상대수학에서 미분 대수(微分代數, 영어: differential algebra)는 곱 규칙을 만족하는 자기 선형 변환이 갖추어진 결합 대수이다. 해석학에서의 미분 연산을 공리화한 개념이다.

정의

미분

다음이 주어졌다고 하자.

가환환 $K$
$K$ 위의 결합 대수 $(A,+,0_{A},\cdot ,1_{A})$
$(A,A)$ -쌍가군 $_{A}M_{A}$ . 또한, 왼쪽과 오른쪽 $K$ -작용이 서로 일치한다고 하자 ( $km=mk\;\forall m\in M,\;k\in K$ ). (다시 말해, $M$ 은 $A^{\operatorname {e} }=A\otimes _{K}A^{\operatorname {op} }$ 위의 왼쪽 가군이다.)

그렇다면, $M$ 값의, $A$ 위의 미분(微分, 영어: derivation)은 다음과 같은 $K$ -선형 변환이다.

\partial \colon A\to M

이는 다음과 같은 곱 규칙을 만족시켜야 한다.

\partial (ab)=(\partial a)b+a(\partial b)\qquad \forall a,b\in A

흔히, $_{A}M_{A}={}_{A}A_{A}$ 를 사용한다.

미분 대수

미분 대수 $(K,A,\partial )$ 는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

가환환 $K$
$K$ 위의 결합 대수 $(A,+,0_{A},\cdot ,1_{A})$
미분을 이루는 자기 사상 $\partial \colon A\to A$ . (이는 결합 대수 준동형이 될 필요가 없다.)

특히, 정수환 $\mathbb {Z}$ 위의 결합 대수는 환이므로, 만약 $K=\mathbb {Z}$ (정수환)인 경우, 그 위의 미분 대수를 미분환(微分環,영어: differential ring)이라고 한다. 또한, $K=\mathbb {Z}$ 이며 $A$ 가 체를 이루는 경우, $(K,A,\partial )$ 를 미분체(微分體, 영어: differential field)라고 한다.

만약 미분 대수의 개념에, 등급을 주어 일반화하면 미분 등급 대수의 개념을 얻는다.

미분 대수 준동형

같은 가환환 $K$ 위의 두 미분 대수 $A$ , $B$ 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 미분 대수 준동형(微分代數準同形, 영어: differential algebra homomorphism)은 대수 구조로서의 준동형이다. 즉, $K$ -결합 대수 준동형 $f\colon A\to B$ 가 다음 조건들을 만족시킨다면, 미분 대수 준동형을 이룬다.

f(\partial a)=\partial f(a)\qquad \forall a\in A

미분체 확대(微分體擴大, 영어: differential field extension)는 두 미분체 사이의 미분 대수 준동형이다. 이는 체의 확대이므로 항상 단사 함수이다.

예

교환자

가환환 $K$ 위의 결합 대수 $A$ 의 원소 $a\in A$ 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 교환자

[a,-]\colon b\mapsto [a,b]=ab-ba

를 정의한다면 $(K,A,[a,-])$ 는 다음과 같이 미분 대수를 이룬다.

[a,bc]=abc-bca=abc-bac+bac-bca=[a,b]c+b[a,c]

다항식환

환 $R$ 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다항식환 $R[x]$ 위에 다음과 같은 선형 변환 $\partial \colon R[x]\to R[x]$ 을 정의할 수 있다.

\partial \colon rx^{n}\mapsto {\begin{cases}nrx^{n-1}&n>0\\0&n=0\end{cases}}\qquad \forall r\in R,\;n\in \mathbb {N}

그렇다면 $(R,R[x],\partial )$ 는 미분 대수를 이룬다.

매끄러운 함수

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

매끄러운 다양체 $M$
벡터장 $X$

그렇다면, $M$ 위의 실수 값 매끄러운 함수들의 집합 ${\mathcal {C}}^{\infty }(M;\mathbb {R} )$ 를 생각하자. 이는 실수 벡터 공간을 이루며, 또한 점별 합과 곱에 대하여 실수 결합 대수를 이룬다.

벡터장은 ${\mathcal {C}}^{\infty }(M;\mathbb {R} )$ 위에 미분 연산자로 작용한다. 국소 좌표계로 표현하면 다음과 같다.

Xf=X^{\mu }\partial _{\mu }f

그렇다면, $(\mathbb {R} ,{\mathcal {C}}^{\infty }(M;\mathbb {R} ),X)$ 는 미분 대수를 이룬다.

리 대수

가환환 $K$ 위의 리 대수 ${\mathfrak {g}}$ 가 주어졌다고 하자. ${\mathfrak {g}}$ 위의 미분 $\partial \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}$ 은 다음 조건을 만족시키는 $K$ -선형 변환이다.

\partial [a,b]=[\partial a,b]+[a,\partial b]

이 경우, $\partial$ 은 ${\mathfrak {g}}$ 의 보편 포락 대수 $\operatorname {U} ({\mathfrak {g}})$ 위에 자연스럽게 다음과 같이 확장된다.

\partial a_{1}a_{2}\cdots a_{k}=\sum _{i=1}^{k}a_{1}\cdots a_{i-1}(\partial a_{i})a_{i+1}\cdots a_{k}\qquad (k\in \mathbb {N} ,\;a_{1},\dots ,a_{k}\in {\mathfrak {g}})

그렇다면, $(K,\operatorname {U} ({\mathfrak {g}}),\partial )$ 는 미분 대수를 이룬다.

같이 보기

참고 문헌

Magid, Andy R. (1999년 10월). “Differential Galois theory” (PDF). 《Notices of the American Mathematical Society》 (영어) 46 (9): 1041–1049.
Marker, David (2000). 〈Model theory of differential fields〉. Haskell, Deirdre; Pillay, Anand; Steinhorn, Charles. 《Model Theory, Algebra, and Geometry》. Mathematical Sciences Research Institute Publications (영어) 39. Cambridge University Press. ISBN 978-0-52178068-1. 2016년 12월 24일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2016년 12월 23일에 확인함.

외부 링크

“Derivation in a ring”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Differential field”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Differential algbra”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Extension of a differential field”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Differential algebra”. 《nLab》 (영어).
“Differential Galois theory”. 《nLab》 (영어).