주 메뉴 열기

정의편집

리 미분은 임의의 텐서장  을, 임의의 벡터장 방향으로 미분하는 연산이다. 이는 추상적으로 일련의 공리들을 통해 정의될 수 있으며, 또 대신 구체적으로 국소 좌표계를 통해 정의될 수도 있다.

공리적 정의편집

매끄러운 다양체   위에 매끄러운 벡터장  가 주어졌다고 하자. 그렇다면  방향으로의 리 미분

 
 

은 임의의 매끄러운  차 텐서장  에 대하여 작용하여 매끄러운  차 텐서장  를 만드는 선형 변환이며, 다음 공리들을 만족시키는 유일한 연산이다.

  • (함수의 리 미분) 함수((0,0)차 텐서)  에 대하여, 리 미분은 벡터장의 1차 미분 연산자로의 작용과 같다.
     
  • (함수 외미분과의 호환) 함수  에 대하여, 리 미분은 외미분과 가환한다.
     
  • (텐서곱과의 호환) 리 미분은 텐서곱에 대하여 곱의 법칙을 따른다.
     
  • (축약과의 호환) 리 미분은 축약에 대하여 곱의 법칙을 따른다. 즉, 임의의 벡터장   차 텐서장  에 대하여 ( ),
     

좌표 표현편집

아인슈타인 표기법을 사용하자. 국소 좌표계  를 잡았을 때, 벡터   방향의,  차 텐서  리 미분은 다음과 같다.

 

또한, 비틀림이 없는 아핀 접속  의 경우, 위의 편미분을 공변 미분으로 치환하여도 상관없다. 리 미분은 아핀 접속에 의존하지 않는다.

 

스피너장의 리 미분편집

스핀 구조를 갖는 리만 다양체  가 주어졌다고 하자. 그 위의 스피너 다발  은 복소수  차원의 벡터 다발이다. 그렇다면, 스피너장  리 미분은 다음과 같다.

 

여기서

  •  는 벡터장(=(1,0)차 텐서장)  에 대응하는 1차 미분 형식(=(0,1)차 텐서장)이다.
  •  1차 미분 형식외미분이다.
  •  클리퍼드 대수의 곱이다.

국소 좌표계로 표기하면 이는 다음과 같다.

 

여기서

  •  접다발  의 지표이다.
  •  스피너 다발  의 (복소수 성분) 지표이다.
  •  디랙 행렬이다.

스피너장의 리 미분은 리만 다양체의 리만 계량에 의존하지 않는다.

만약  킬링 벡터장이라면 (즉,  ), 이는 다음과 같이 더 간단해진다.

 

일반화 리 미분편집

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

  • 매끄러운 다양체    및 그 접다발  ,  
  • 매끄러운 함수  
  •   위의 벡터장  
  •   위의 벡터장  

그렇다면,  의,   방향의 일반화 리 미분은 다음과 같은 매끄러운 함수이다.[2]:377, §47.4

 
 

이는 다음 조건을 만족시킨다.

 
 

즉, 다음과 같은 가환 그림이 성립한다.

 

만약   의 흐름이 각각

 
 
 
 

라면, 다음이 성립한다.[2]:377, §47.4

 

올다발의 경우편집

특히, 올다발  가 주어졌으며,   가 둘 다 매끄러운 다양체이며,  매끄러운 함수이며, 그 모든 올들이 서로 미분 동형매끄러운 다양체라고 하자. 또한, 그 단면  이 주어졌다고 하자.

또한, 벡터장   가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 리 미분

 

를 정의할 수 있으며, 이는 올다발  의 단면이다.

추가로, 만약 다음이 성립한다고 하자.

 

즉, 다음 가환 그림이 성립한다고 하자.

 

이 조건이 성립하는 벡터장  사영 가능 벡터장(영어: projectable vector field)이라고 한다.[3]:§2 이러한  가 주어지면  

 

로 재구성할 수 있다. 따라서, 이 경우   로 표기할 수 있다.

그렇다면,  는 사실 수직 벡터 다발  에 속함을 보일 수 있다.

 

벡터 다발의 경우편집

특히, 위 경우에서  벡터 다발이라고 하자. 그렇다면, 그 수직 벡터 다발

 

이며, 이 경우

 

의 꼴이다. 이 경우,   의 단면이며, 이를  리 미분이라고 한다.[2]:378, §47.5[3]:Proposition 5.4

성질편집

미분 동형 사상과의 관계편집

리 미분의 개념은 벡터장을 무한소 미분 동형 사상으로 간주하여 유도할 수 있다.

구체적으로, 매끄러운 다양체 위에 리 군  가 매끄럽게 작용한다고 하자.

 
 
 
 

그렇다면, 벡터장  를 다음과 같이 정의할 수 있다.

 
 

이제, 임의의 벡터장   및 매끄러운 함수  에 대하여

 

를 정의할 수 있다. 이 경우, 다음과 같은 극한을 계산할 수 있다.

 
 
 
 

마찬가지로, 임의의 1차 미분 형식  에 대하여, 당김

 

을 정의할 수 있으며, 다음과 같은 극한을 계산할 수 있다.

 
 
 
 

함수의 리 미분편집

함수  에 대하여, 리 미분은 그냥 단순한 미분이다. 즉,

 

이다.

벡터의 리 미분편집

벡터장의 경우, 리 미분은 리 괄호가 된다.

 

이 경우, 야코비 항등식에 따라 리 미분은 리 괄호에 대해 곱의 법칙을 따른다.

 

미분 형식의 리 미분편집

 미분 형식   차 텐서로 간주하여 그 리 미분을 정의할 수 있다. 이 경우, 리 미분은 다음과 같이 주어진다. 이 공식을 카르탕 마법 공식(Cartan魔法公式, 영어: Cartan’s magic formula)이라고 한다.

 

여기서  내부곱(영어: interior product)을 나타낸다.

 

미분 형식에 대하여, 리 미분은 다음과 같은 항등식들을 만족시킨다.

 
 
 

대칭 (0,2)차 텐서장편집

대칭 (0,2)차 텐서장   (예를 들어, 리만 계량)의 경우,

 

이다.

특히, 만약 리만 계량  로 유도되는 아핀 접속을 사용할 경우,  이며, 따라서

 

이다. 위 표현이 0이 되게 하는 벡터장   킬링 벡터장이라고 한다.

역사편집

1931년에 폴란드의 수학자 브와디스와프 실레보진스키가 도입하였다.[4][5] 다비트 판 단지흐(네덜란드어: David van Danzig, 1900~1959)가 1932년에 소푸스 리의 이름을 따 이 연산을 "리 미분"(독일어: Liesche Ableitung)이라고 명명하였다.[6]:536, §3 판 단치흐는 이 연산을  로 표기하였다.

이와 독자적으로, 벨기에의 물리학자 레옹 로젠펠드(프랑스어: Léon Rosenfeld, 1904~1974)는 일반 상대성 이론을 다루는 동안 이와 유사한 연산을 도입하였다.[7] 로젠펠드는 이를 "국소 변화"(프랑스어: variation locale)이라고 불렀으며,  로 표기하였는데, 이는 오늘날의  와 사실상 같다.[5]:§3

1963년에 앙드레 리크네로비츠(프랑스어: André Lichnerowicz)가 스피너장의, 킬링 벡터장 방향의 리 미분을 정의하였고,[8] 이후 1972년에 이베트 코스만슈와르즈바크(프랑스어: Yvette Kosmann-Schwarzbach)가 이를 임의의 벡터장 방향에 대하여 일반화하였다.[9]

참고 문헌편집

  1. Yano, Kentaro (1957). 《The theory of Lie derivatives and its applications》. Bibliotheca Mathematica (영어) 3. North-Holland. ISBN 978-0-7204-2104-0. 
  2. Kolář, Ivan; Michor, Peter; Slovák, Jan (1993). 《Natural operations in differential geometry》 (PDF) (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-56235-1. Zbl 0782.53013. doi:10.1007/978-3-662-02950-3. 2017년 3월 30일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2016년 12월 20일에 확인함. 
  3. Godina, Marco; Matteucci, Paolo (2003). “Reductive G-structures and Lie derivatives”. 《Journal of Geometry and Physics》 (영어) 47: 66–86. Bibcode:2003JGP....47...66G. Zbl 1035.53035. arXiv:math/0201235. doi:10.1016/S0393-0440(02)00174-2. 
  4. Ślebodziński, Władysław (1931). “Sur les équations canoniques de Hamilton”. 《Bulletin de la Classe des Sciences de l’Académie royale des sciences, des lettres et des beaux-arts de Belgique》 (프랑스어) 17: 864–870. JFM 57.0498.02. 
  5. Trautman, Andrzej (2009). 〈Remarks on the history of the notion of Lie differentiation〉. Krupková, Olga; Saunders, David. 《Variations, geometry and physics. In honor of Demeter Krupka’s sixty fifth birthday》 (영어). Nova Science Publishers. 255–259쪽. ISBN 978-1-60456-920-9. Zbl 1208.53019. 2016년 12월 20일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2016년 12월 7일에 확인함. 
  6. van Dantzig, David (1932년 4월 30일). “Zur allgemeinen projektiven Differentialgeometrie. II. Xn+1 mit eingliedriger Gruppe” (PDF). 《Proceedings of the Section of Sciences, Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam》 (독일어) 35 (4): 535–542. 
  7. Rosenfeld, Léon (1940). “Sur le tenseur d’impulsion-énergie”. 《Mémoires de la Classe des sciences de l’Académie royale des sciences, des lettres et des beaux-arts de Belgique》 (프랑스어) 18 (6): 1–30. JFM 66.1142.03. Zbl 0024.37801. 
  8. Lichnerowicz, André (1963년 7월 1일). “Spineurs harmoniques”. 《Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des sciences》 (프랑스어) 257 (1): 7–9. Zbl 0136.18401. 
  9. Kosmann, Yvette (1972). “Dérivées de Lie des spineurs”. 《Annali di Matematica Pura ed Applicata》 (프랑스어) 91 (4): 317–395. doi:10.1007/BF02428822. 

같이 보기편집

외부 링크편집