선형대수학 과 가군 이론에서, 쌍대 가군 (雙對加群, 영어 : dual module )은 어떤 가군 또는 벡터 공간 위의 선형 범함수 들로 구성된 가군 또는 벡터 공간 을 말한다. 만약 스칼라환이 가환환 이 아닐 경우, 왼쪽 가군 의 쌍대 가군은 오른쪽 가군 이며, 반대로 오른쪽 가군 의 쌍대 가군은 왼쪽 가군 이다. 만약 스칼라환이 체 일 경우, 쌍대 가군은 보통 쌍대 공간 (雙對空間, 영어 : dual space )이라고 한다. 기호는
(
−
)
∨
{\displaystyle (-)^{\vee }}
(
−
)
∗
{\displaystyle (-)^{*}}
쌍대 가군의 개념은 대수적이며, 그 위의 위상 을 고려하지 않는다. 이 때문에, 위상 벡터 공간 의 경우 보통 연속 쌍대 공간 을 대신 사용한다.
환
R
{\displaystyle R}
왼쪽 가군
R
M
{\displaystyle _{R}M}
쌍대 가군
M
R
∨
{\displaystyle M_{R}^{\vee }}
R
{\displaystyle R}
오른쪽 가군 이다.
M
R
∨
=
hom
(
R
M
,
R
R
)
{\displaystyle M_{R}^{\vee }=\hom(_{R}M,_{R}R)}
(
f
r
)
:
(
m
↦
f
(
m
)
r
)
∀
f
∈
M
R
∨
,
r
∈
R
,
m
∈
M
{\displaystyle (fr)\colon (m\mapsto f(m)r)\qquad \forall f\in M_{R}^{\vee },\;r\in R,\;m\in M}
즉, 왼쪽
R
{\displaystyle R}
선형 변환
f
:
M
→
R
{\displaystyle f\colon M\to R}
들로 구성된 공간이다. 그 위의
R
{\displaystyle R}
오른쪽 가군 구조는 구체적으로 다음과 같다.
(
f
+
g
)
(
m
)
=
f
(
m
)
+
g
(
m
)
∀
f
,
g
∈
M
R
∨
,
m
∈
M
{\displaystyle (f+g)(m)=f(m)+g(m)\qquad \forall f,g\in M_{R}^{\vee },\;m\in M}
(
f
r
)
(
m
)
=
f
(
r
m
)
∀
f
∈
M
R
∨
,
r
∈
R
,
m
∈
M
{\displaystyle (fr)(m)=f(rm)\qquad \forall f\in M_{R}^{\vee },\;r\in R,\;m\in M}
마찬가지로,
R
{\displaystyle R}
오른쪽 가군 의 쌍대 가군은
R
{\displaystyle R}
왼쪽 가군 이다.
만약
R
{\displaystyle R}
가환환 이면 왼쪽·오른쪽을 구별할 필요가 없다.
R
=
K
{\displaystyle R=K}
체 라고 하자. 그렇다면, 그 위의 가군
V
{\displaystyle V}
벡터 공간 이라고 불리며, 벡터 공간의 쌍대 가군은 (대수적) 쌍대 공간 ((代數的)雙對空間, 영어 : (algebraic) dual space )이라고 불리며, 보통
V
∗
{\displaystyle V^{*}}
체
K
{\displaystyle K}
V
{\displaystyle V}
W
⊂
V
{\displaystyle W\subset V}
소멸자 (消滅子, 영어 : annihilator )
W
0
{\displaystyle W^{0}}
V
∗
{\displaystyle V^{*}}
W
0
=
{
f
∈
V
∗
:
f
(
w
)
=
0
∀
w
∈
W
}
⊂
V
∗
{\displaystyle W^{0}=\{f\in V^{*}\colon f(w)=0\forall w\in W\}\subset V^{*}}
쌍대 가군의 개념은 가군층 에 대하여 일반화될 수 있다.
국소환 달린 공간
(
X
,
O
X
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}
O
X
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}
가군층
M
{\displaystyle {\mathcal {M}}}
M
∨
=
hom
O
X
(
M
,
O
X
)
{\displaystyle {\mathcal {M}}^{\vee }=\hom _{{\mathcal {O}}_{X}}({\mathcal {M}},{\mathcal {O}}_{X})}
그렇다면, 다음과 같은 표준적인
O
X
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}
가군층 사상을 정의할 수 있다.
M
→
M
∨
∨
{\displaystyle {\mathcal {M}}\to {\mathcal {M}}^{\vee \vee }}
(
s
∈
Γ
(
U
;
M
)
)
↦
(
(
f
∈
Γ
(
U
;
hom
O
X
(
O
X
,
M
)
)
↦
f
(
s
)
)
∀
U
∈
Open
(
X
)
{\displaystyle \left(s\in \Gamma (U;{\mathcal {M}})\right)\mapsto \left((f\in \Gamma \left(U;\hom _{{\mathcal {O}}_{X}}({\mathcal {O}}_{X},{\mathcal {M}})\right)\mapsto f(s)\right)\qquad \forall U\in \operatorname {Open} (X)}
이를
O
X
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}
가군층
M
{\displaystyle M}
쌍대 가군층 (雙對加群層, 영어 : sheaf of dual modules )이라고 한다.
임의의 환
R
{\displaystyle R}
R
{\displaystyle R}
왼쪽 가군 (벡터 공간)과 가군 준동형 (선형 변환 )들의 범주
R
Mod
{\displaystyle _{R}{\text{Mod}}}
오른쪽 가군 (벡터 공간)과 가군 준동형 (선형 변환 )들의 범주
Mod
R
{\displaystyle {\text{Mod}}_{R}}
반대 범주 로 가는 함자
(
−
)
∨
:
R
Mod
→
Mod
R
op
{\displaystyle (-)^{\vee }\colon {}_{R}{\text{Mod}}\to {\text{Mod}}_{R}^{\operatorname {op} }}
를 정의한다.
특히, 이중 쌍대 가군은 자기 함자
(
−
)
∨
∨
:
R
Mod
→
R
Mod
{\displaystyle (-)^{\vee \vee }\colon {}_{R}{\text{Mod}}\to {}_{R}{\text{Mod}}}
를 정의한다.
체
K
{\displaystyle K}
벡터 공간
V
{\displaystyle V}
V
∗
{\displaystyle V^{*}}
∗
:
K
-Vect
→
K
-Vect
op
{\displaystyle ^{*}\colon K{\text{-Vect}}\to K{\text{-Vect}}^{\operatorname {op} }}
∗
:
K
-FinVect
→
K
-FinVect
op
{\displaystyle ^{*}\colon K{\text{-FinVect}}\to K{\text{-FinVect}}^{\operatorname {op} }}
K
-FinVect
{\displaystyle K{\text{-FinVect}}}
V
{\displaystyle V}
V
∗
{\displaystyle V^{*}}
dim
V
=
dim
V
∗
{\displaystyle \dim V=\dim V^{*}}
V
≅
V
∗
{\displaystyle V\cong V^{*}}
구체적으로,
V
{\displaystyle V}
기저
B
⊆
V
{\displaystyle B\subseteq V}
B
∗
⊆
V
∗
{\displaystyle B^{*}\subseteq V^{*}}
쌍대 기저 (雙對基底, 영어 : dual basis )라고 한다.
b
∗
(
b
′
)
=
{
1
b
=
b
′
0
b
≠
b
′
∀
b
,
b
′
∈
B
{\displaystyle b^{*}(b')={\begin{cases}1&b=b'\\0&b\neq b'\end{cases}}\qquad \forall b,b'\in B}
서로 쌍대 공간 속 벡터의 서로 쌍대 기저에 대한 좌표는 다음과 같다.
v
=
∑
b
∈
B
b
∗
(
v
)
b
{\displaystyle v=\sum _{b\in B}b^{*}(v)b}
f
=
∑
b
∈
B
f
(
b
)
b
∗
{\displaystyle f=\sum _{b\in B}f(b)b^{*}}
그러나 이는 표준적(영어 : canonical )이지 않다. 범주론적으로,
∗
:
K
-FinVect
→
K
-FinVect
op
{\displaystyle ^{*}\colon K{\text{-FinVect}}\to K{\text{-FinVect}}^{\operatorname {op} }}
반면,
V
{\displaystyle V}
V
∗
∗
{\displaystyle V^{**}}
V
{\displaystyle V}
V
≅
V
∗
∗
{\displaystyle V\cong V^{**}}
v
↦
(
f
↦
f
(
v
)
)
{\displaystyle v\mapsto (f\mapsto f(v))}
범주론적으로, 함자
∗
∗
:
K
-FinVect
→
K
-FinVect
{\displaystyle ^{**}\colon K{\text{-FinVect}}\to K{\text{-FinVect}}}
는 상수 함자
id
:
K
-FinVect
→
K
-FinVect
{\displaystyle \operatorname {id} \colon K{\text{-FinVect}}\to K{\text{-FinVect}}}
와 자연 동형 이다.
부분 벡터 공간
W
⊂
V
{\displaystyle W\subset V}
dim
W
0
=
dim
V
−
dim
W
{\displaystyle \dim W^{0}=\dim V-\dim W}
V
∗
=
W
∗
⊕
W
0
{\displaystyle V^{*}=W^{*}\oplus W^{0}}
dim
W
00
=
dim
W
{\displaystyle \dim W^{00}=\dim W}
W
≅
W
00
{\displaystyle W\cong W^{00}}
무한 차원의 벡터 공간
V
{\displaystyle V}
V
{\displaystyle V}
기수 로서) 항상
V
∗
{\displaystyle V^{*}}
ℵ
0
≤
dim
V
⟹
dim
V
<
dim
V
∗
{\displaystyle \aleph _{0}\leq \dim V\implies \dim V<\dim V^{*}}
상수 함자에서 이중 쌍대 공간 함자
∗
∗
:
K
-FinVect
→
K
-FinVect
{\displaystyle ^{**}\colon K{\text{-FinVect}}\to K{\text{-FinVect}}}
자연 변환
ϕ
{\displaystyle \phi }
ϕ
:
id
⟹
∗
∗
{\displaystyle \phi \colon \operatorname {id} \implies ^{**}}
ϕ
V
:
V
→
V
∗
∗
{\displaystyle \phi _{V}\colon V\to V^{**}}
이 경우,
ϕ
V
{\displaystyle \phi _{V}}
단사 함수 이지만,
V
{\displaystyle V}
전사 함수 가 아니다.
이러한 이유 때문에, 만약
V
{\displaystyle V}
위상 벡터 공간 이라면 보통 대수적 쌍대 공간 대신 연속 쌍대 공간 을 사용한다.
