확률론 과 통계학 에서 교환 가능 확률 변수족 (交換可能確率變數族, 영어 : exchangeable family of random variables )은 유한 개를 재배열하여도 결합 확률 분포 가 변하지 않는 확률 변수 집합이다. 교환 가능 시그마 대수 (交換可能σ代數, 영어 : exchangeable sigma-algebra )는 유한 개의 확률 변수 를 재배열하여도 발생 여부가 바뀌지 않는 사건들로 구성된 시그마 대수 이다.
교환 가능 시그마 대수
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두 집합
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
대칭차
A
△
B
=
(
A
∖
B
)
∪
(
B
∖
A
)
{\displaystyle A\bigtriangleup B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)}
집합
A
{\displaystyle A}
fp
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {fp} (A)}
π
(
a
)
≠
a
{\displaystyle \pi (a)\neq a}
a
∈
A
{\displaystyle a\in A}
전단사 함수
π
:
A
→
A
{\displaystyle \pi \colon A\to A}
실수 수열
x
∈
R
N
{\displaystyle x\in {\mathbb {R} }^{\mathbb {N} }}
π
∈
fp
(
N
)
{\displaystyle \pi \in \operatorname {fp} (\mathbb {N} )}
π
x
=
(
x
π
(
i
)
)
i
∈
N
{\displaystyle \pi x=(x_{\pi (i)})_{i\in \mathbb {N} }}
이라고 하자.
확률 공간
(
Ω
,
F
,
Pr
)
{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {Pr} )}
(
R
N
,
B
(
R
N
)
)
{\displaystyle ({\mathbb {R} }^{\mathbb {N} },{\mathcal {B}}({\mathbb {R} }^{\mathbb {N} }))}
확률 변수
X
:
Ω
→
R
N
{\displaystyle X\colon \Omega \to {\mathbb {R} }^{\mathbb {N} }}
의 교환 가능 시그마 대수 는 다음과 같다.
E
(
X
)
=
{
X
−
1
(
B
)
:
B
∈
B
(
R
N
)
,
Pr
(
X
−
1
(
B
)
△
(
π
X
)
−
1
(
B
)
)
=
0
∀
π
∈
fp
(
N
)
}
⊂
F
{\displaystyle {\mathcal {E}}(X)=\{X^{-1}(B)\colon B\in {\mathcal {B}}({\mathbb {R} }^{\mathbb {N} }),\;\operatorname {Pr} (X^{-1}(B)\bigtriangleup (\pi X)^{-1}(B))=0\forall \pi \in \operatorname {fp} (\mathbb {N} )\}\subset {\mathcal {F}}}
교환 가능 시그마 대수의 원소를 교환 가능 사건 (交換可能事件, 영어 : exchangeable event ) 또는 순열 가능 사건 (順列可能事件, 영어 : permutable event ) 또는 대칭 사건 (對稱事件, 영어 : symmetric event )이라고 한다.
교환 가능 확률 변수족
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확률 공간
(
Ω
,
F
,
Pr
)
{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {Pr} )}
(
R
,
B
(
R
)
)
{\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))}
확률 변수 들의 가산 집합
(
X
i
:
Ω
→
R
)
i
∈
I
{\displaystyle (X_{i}\colon \Omega \to \mathbb {R} )_{i\in I}}
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치 이며, 이를 만족시키는
(
X
i
)
i
∈
I
{\displaystyle (X_{i})_{i\in I}}
교환 가능 확률 변수족 이라고 한다.
임의의 유한 집합
J
⊆
I
{\displaystyle J\subseteq I}
전단사 함수
i
,
j
:
{
1
,
…
,
|
J
|
}
→
J
{\displaystyle i,j\colon \{1,\dots ,|J|\}\to J}
(
X
i
(
1
)
,
…
,
X
i
(
|
J
|
)
)
{\displaystyle (X_{i(1)},\dots ,X_{i(|J|)})}
(
X
j
(
1
)
,
…
,
X
j
(
|
J
|
)
)
{\displaystyle (X_{j(1)},\dots ,X_{j(|J|)})}
확률 분포 는 같다.
임의의
n
=
1
,
2
,
…
{\displaystyle n=1,2,\dots }
단사 함수
i
,
j
:
{
1
,
…
,
n
}
→
I
{\displaystyle i,j\colon \{1,\dots ,n\}\to I}
(
X
i
(
1
)
,
…
,
X
i
(
n
)
)
{\displaystyle (X_{i(1)},\dots ,X_{i(n)})}
(
X
j
(
1
)
,
…
,
X
j
(
n
)
)
{\displaystyle (X_{j(1)},\dots ,X_{j(n)})}
확률 분포 는 같다. 데 피네티 정리 (영어 : de Finetti’s theorem )에 따르면, 만약
I
{\displaystyle I}
가산 무한 집합 일 경우, 다음 네 조건이 서로 동치 이다.[1] :232, §7.3, Theorem 2
(
X
i
)
i
∈
I
{\displaystyle (X_{i})_{i\in I}}
(
X
i
)
i
∈
I
{\displaystyle (X_{i})_{i\in I}}
시그마 대수
G
⊆
F
{\displaystyle {\mathcal {G}}\subseteq {\mathcal {F}}}
(
X
i
)
i
∈
I
{\displaystyle (X_{i})_{i\in I}}
꼬리 시그마 대수
T
(
X
i
)
i
∈
I
{\displaystyle {\mathcal {T}}(X_{i})_{i\in I}}
(
X
i
)
i
∈
I
{\displaystyle (X_{i})_{i\in I}}
E
(
X
i
)
i
∈
I
{\displaystyle {\mathcal {E}}(X_{i})_{i\in I}}
교환 가능 확률 변수열이 주어졌을 때, 만약 모든 꼬리 사건 의 확률이 0 또는 1이라면, 모든 교환 가능 사건의 확률 역시 0 또는 1이다. 특히, (콜모고로프 0-1 법칙 에 따라 독립 동일 분포 확률 변수열의 꼬리 사건의 확률이 0 또는 1이므로,) 독립 동일 분포 확률 변수열의 교환 가능 사건의 확률은 0 또는 1이다. 이 특수한 경우를 휴잇-새비지 0-1 법칙 (영어 : Hewitt–Savage zero–one law )이라고 한다.
실수 값의 확률 변수열의 모든 꼬리 사건 은 교환 가능 사건이다.
모든 독립 동일 분포 확률 변수열은 교환 가능 확률 변수열이다.
데 피네티 정리는 브루노 데 피네티(이탈리아어 : Bruno de Finetti )의 이름을 땄다. 휴잇-새비지 0-1 법칙은 에드윈 휴잇(영어 : Edwin Hewitt )과 레너드 지미 새비지(영어 : Leonard Jimmie Savage )의 이름을 땄다.
참고 문헌
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외부 링크
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