이중 사슬 복합체

호몰로지 대수학에서 이중 사슬 복합체(二重사슬複合體, 영어: double chain complex, bicomplex)는 사슬 복합체와 유사하지만, 1차원 대신 2차원인 구조이다. 즉, 모든 항들은 두 개의 첨자를 달고 있으며, 각 항 위에는 수직 및 수평 방향의 두 개의 경계 사상이 정의되며, 이들은 서로 교환 법칙을 만족시켜야 한다. 이중 사슬 복합체 위에는 도롱뇽 정리(도롱[龍]定理, 영어: salamander lemma) 및 그 특수한 경우인 3×3 정리(三×三定理, 영어: 3×3 lemma) · 뱀 정리와 같은 정리들이 성립한다.

정의

아벨 범주 ${\mathcal {A}}$ 위의 사슬 복합체의 범주 $\operatorname {Ch} _{\bullet }({\mathcal {A}})$ 역시 아벨 범주이므로, 그 위의 사슬 복합체를 취할 수 있다. 이를 이중 사슬 복합체라고 한다.

구체적으로, 이중 사슬 복합체 $C_{\bullet ,\bullet }\in \operatorname {Ch} _{\bullet }(\operatorname {Ch} _{\bullet }({\mathcal {A}}))$는 다음과 같은 꼴이다.

${\begin{matrix}&&\vdots &&\vdots \\&&\downarrow &&\downarrow \\\dotsb &\to &C_{m,n}&{\overset {\partial _{m,n}^{\text{h}}}{\to }}&C_{m-1,n}&\to &\dotsb \\&&{\scriptstyle \partial _{m,n}^{\text{v}}}\downarrow {\color {White}\scriptstyle \partial _{m,n}^{\text{v}}}&&{\color {White}\scriptstyle \partial _{m-1,n}^{\text{v}}}\downarrow {\scriptstyle \partial _{m-1,n}^{\text{v}}}\\\dotsb &\to &C_{m,n-1}&{\underset {\partial _{m,n-1}^{\text{h}}}{\to }}&C_{m-1,n-1}&\to &\dotsb \\&&\downarrow &&\downarrow \\&&\vdots &&\vdots \end{matrix}}$

즉, 이는 수평 경계 사상(水平境界寫像, 영어: horizontal boundary map)

$\partial _{\bullet ,\bullet }^{\operatorname {h} }\colon C_{\bullet ,\bullet }\to C_{\bullet -1,\bullet }$

및 수직 경계 사상(垂直境界寫像, 영어: vertical boundary map)

$\partial _{\bullet ,\bullet }^{\operatorname {v} }\colon C_{\bullet ,\bullet }\to C_{\bullet ,\bullet -1}$

을 가지며, 이들은 다음과 같은 관계를 만족시킨다.

$\partial _{m-1,n}^{\operatorname {h} }\circ \partial _{m,n}^{\operatorname {h} }=0$

$\partial _{m,n-1}^{\operatorname {v} }\circ \partial _{m,n}^{\operatorname {v} }=0$

$\partial _{m-1,n}^{\operatorname {v} }\circ \partial _{m,n}^{\operatorname {h} }=\partial _{m,n-1}^{\operatorname {h} }\circ \partial _{m,n}^{\operatorname {v} }$

전체 사슬 복합체

${\mathcal {A}}$에서 가산 무한 직합이 존재한다고 할 때 (또는 정의에 등장하는 직합에서 오직 유한 개의 항들이 0이 아니라고 할 때), 이중 사슬 복합체 $C_{\bullet ,\bullet }\in \operatorname {Ch} _{\bullet }(\operatorname {Ch} _{\bullet }{\mathcal {A}}))$의 전체 사슬 복합체(全體사슬複合體, 영어: total chain complex) $\operatorname {Tot} _{\bullet }(C)\in \operatorname {Ch} _{\bullet }({\mathcal {A}})$는 다음과 같은 사슬 복합체이다.

$\operatorname {Tot} _{n}(C)=\bigoplus _{p+q=n}C_{p,q}$

$\partial _{n}^{\operatorname {Tot} (C)}=\bigoplus _{p+q=n}\partial _{p,q}^{\operatorname {h} }+(-)^{p}\partial _{p,q}^{\operatorname {v} }$

이는 사슬 복합체를 이루므로, 마찬가지로 호몰로지를 취할 수 있다. 이를 전체 호몰로지(영어: total homology)라고 한다.

이중 사슬 복합체의 다른 부호 규칙

문헌에 따라서, 이중 사슬 복합체를 표기할 때 위와 다른 부호 규칙을 사용하는 경우가 있다. 이 부호 규칙으로 전환하려면, 다음과 같은 변환을 가하자.

$\partial _{m,n}^{\operatorname {h} \prime }=\partial _{m,n}^{\operatorname {h} }$

$\partial _{m,n}^{\operatorname {v} \prime }=(-)^{n}\partial _{m,n}^{\operatorname {v} }$

즉, 홀수 번째 열들의 수직 경계 사상에 음부호를 붙인다. (물론, 대신 홀수 번째 행들의 수평 경계 사상에 음부호를 붙여도 비슷하다.)

그렇다면, 이들은 다음을 만족시킨다.

$\partial _{m-1,n}^{\operatorname {h} \prime }\circ \partial _{m,n}^{\operatorname {h} \prime }=0$

$\partial _{m,n-1}^{\operatorname {v} \prime }\circ \partial _{m,n}^{\operatorname {v} \prime }=0$

$\partial _{m-1,n}^{\operatorname {v} \prime }\circ \partial _{m,n}^{\operatorname {h} \prime }+\partial _{m,n-1}^{\operatorname {h} \prime }\circ \partial _{m,n}^{\operatorname {v} \prime }=0$

즉, 수평 경계 사상과 수직 경계 사상이 서로 교환 법칙 대신 반교환 법칙을 따르게 된다.

이렇게 하면, 전체 사슬 복합체의 정의가 다음과 같이 더 간단해진다.

$\partial _{n}^{\operatorname {Tot} (C)}=\bigoplus _{p+q=n}\partial _{p,q}^{\operatorname {h} \prime }+\partial _{p,q}^{\operatorname {v} \prime }$

수직 · 수평 호몰로지

아벨 범주 ${\mathcal {A}}$ 위의 이중 사슬 복합체 $C_{\bullet ,\bullet }$가 주어졌다고 하자.

그렇다면, 수평 호몰로지(垂直homology, 영어: horizontal homology)

$\operatorname {H} ^{\operatorname {h} }={\frac {\ker ^{\operatorname {h} }}{\operatorname {im} ^{\operatorname {h} }}}$

및 수직 호몰로지(水平homology, 영어: vertical homology)

$\operatorname {H} ^{\operatorname {v} }={\frac {\ker ^{\operatorname {v} }}{\operatorname {im} ^{\operatorname {v} }}}$

를 정의할 수 있다.

교내 사상과 교외 사상

임의의 대상 $A=C_{m,n}$에 대하여, 다음 사상들이 존재한다.

${\begin{matrix}\searrow ^{\partial ^{\operatorname {vh} }}&\downarrow {\scriptstyle \partial ^{\operatorname {h} }}\\{\overset {\partial ^{\operatorname {h} }}{\to }}&A&{\overset {\partial ^{\operatorname {h} }}{\to }}\\&\downarrow {\scriptstyle \partial ^{\operatorname {h} }}&\searrow ^{\partial ^{\operatorname {vh} }}\end{matrix}}$

위 그림에서, $\partial ^{\operatorname {vh} }=\partial ^{\operatorname {h} }\circ \partial ^{\operatorname {v} }=\partial ^{\operatorname {v} }\circ \partial ^{\operatorname {h} }$는 수직 경계 사상과 수평 경계 사상을 합성한 것이다. 편의상, 다음과 같은 기호들을 정의하자.^{:Definition 1.1}

용어	기호	정의
수평 호몰로지	$_{=}A$	${\frac {\ker \partial _{mn}^{\operatorname {h} }}{\operatorname {im} \partial _{m-1,n}^{\operatorname {h} }}}$
수직 호몰로지	$A^{\|}$	${\frac {\ker \partial _{mn}^{\operatorname {v} }}{\operatorname {im} \partial _{m,n-1}^{\operatorname {v} }}}$
기증자(寄贈者, 영어: donor)	$A_{\square }$	${\frac {\ker \partial _{mn}^{\operatorname {vh} }}{\operatorname {im} (\partial _{m-1,n}^{\operatorname {h} }\sqcup \partial _{m,n-1}^{\operatorname {v} })}}$
수령자(受領者, 영어: receptor)	$^{\square }A$	${\frac {\ker(\partial _{mn}^{\operatorname {v} }\times \partial _{mn}^{\operatorname {h} })}{\operatorname {im} \partial _{m-1,n-1}^{\operatorname {vh} }}}$

이들의 기호를 위와 같이 이상하게 정의하는 이유는 다음 때문이다. 우선, $_{=}A$ · $A^{\|}$ · $^{\square }A$ · $A_{\bullet }$는 모두 $A$의 부분 대상들의 몫 대상이므로, 이들 사이에는 다음과 같은 사상들이 존재한다.

${\begin{matrix}^{\square }A&\to &A^{\|}\\\downarrow &&\downarrow \\_{=}A&\to &A_{\square }\end{matrix}}$

이는 다음과 같이 적을 수 있다.

${\overset {\square }{\underset {=}{\scriptstyle \downarrow }}}{\overset {\to }{\underset {\to }{A}}}{\overset {\|}{\underset {\square }{\scriptstyle \downarrow }}}$

이 사상들을 교내 사상(校內寫像, 영어: intramural map)이라고 하자.^{:Definition 1.3}

또한, 수평 경계 사상

$A\to B$

이 주어졌으면, 다음과 같이 기증자에서 수령자로 가는 사상이 자연스럽게 유도된다.

$A_{\square }\to {}^{\square }B$

이는 다음과 같이 그릴 수 있다.

$A_{\square }\nearrow {}^{\square }B$

마찬가지로, 수직 경계 사상

${\begin{matrix}A\\\downarrow \\B\end{matrix}}$

이 주어졌으면, 다음과 같이 기증자에서 수령자로 가는 사상이 자연스럽게 유도된다.

${\begin{matrix}A_{\square }\\\downarrow \\^{\square }B\end{matrix}}$

이는 다음과 같이 그릴 수 있다.

${\begin{matrix}A_{\square }\\\swarrow \\^{\square }B\end{matrix}}$

이 사상들을 교외 사상(校外寫像, 영어: extramural map)이라고 하자.^{:Definition 1.5}

성질

도롱뇽 정리

이중 사슬 복합체 속의 임의의 부분

${\begin{matrix}C\\\downarrow \\A&\rightarrow &B\\&&\downarrow \\&&D\end{matrix}}$

이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 도롱뇽 정리에 따르면, 다음과 같은 6항 도롱뇽 완전열(도롱[龍]完全列, 영어: salamander exact sequence)이 존재한다.^{:Lemma 1.7}

${\begin{matrix}&&^{\square }A\\&\!\!\!\!\nearrow \!\!\!\!&&\!\!\!\!\searrow \!\!\!\!\\C_{\square }&&\!\!\!\!\!\!\longrightarrow \!\!\!\!\!\!&&_{=}A\to A_{\square }\to {}^{\square }B\to {}_{=}B&&\!\!\!\!\!\!\longrightarrow \!\!\!\!\!\!&&^{\square }D\\&&&&&\!\!\!\!\searrow \!\!\!\!&&\!\!\!\!\nearrow \!\!\!\!\\&&&&&&B_{\square }\end{matrix}}$

여기서 삼각형들은 가환 삼각형이며, 위의 모든 사상들은 교내 사상 또는 교외 사상 또는 (완전열의 양끝의 경우) 교내 사상과 교외 사상의 합성이다.

이 완전열은 다음과 같이 그려질 수 있다.

${\begin{matrix}{\color {White}_{\square }}C{\underset {\square }{\color {White}\scriptstyle \downarrow }}\\\swarrow \\{\underset {=}{\overset {\square }{\scriptstyle \downarrow }}}{\underset {\to }{A}}_{\square }&\nearrow &{\overset {\square }{\underset {=}{\scriptstyle \downarrow }}}{\underset {\to }{B}}_{\square }\\&&\swarrow \\&&{\overset {\square }{\color {White}\scriptstyle \downarrow }}D\color {White}_{\square }\end{matrix}}$

특히, 만약 $_{=}A\cong {}_{=}B\cong 0$이라면, 교외 사상 $A_{\square }\to {}^{\square }B$는 동형 사상이다.

마찬가지로, 이중 사슬 복합체 속의 임의의 부분

${\begin{matrix}C&\to &A\\&&\downarrow \\&&B&\to &D\end{matrix}}$

이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 6항 도롱뇽 완전열이 존재한다.

${\begin{matrix}&&^{\square }A\\&\!\!\!\!\nearrow \!\!\!\!&&\!\!\!\!\searrow \!\!\!\!\\C_{\square }&&\!\!\!\!\!\!\longrightarrow \!\!\!\!\!\!&&A^{\|}\to A_{\square }\to {}^{\square }B\to {}B^{\|}&&\!\!\!\!\!\!\longrightarrow \!\!\!\!\!\!&&^{\square }D\\&&&&&\!\!\!\!\searrow \!\!\!\!&&\!\!\!\!\nearrow \!\!\!\!\\&&&&&&B_{\square }\end{matrix}}$

이 완전열은 다음과 같이 그려질 수 있다.

${\begin{matrix}{\color {White}_{\square }}C{\underset {\square }{\color {White}\scriptstyle \downarrow }}&\nearrow &{}^{^{\scriptstyle \square }}{\overset {\to }{A}}{\overset {\|}{\underset {\square }{\scriptstyle \downarrow }}}\\&&\swarrow \\&&^{^{\scriptstyle \square }}{\overset {\to }{B}}{\overset {\|}{\underset {\square }{\scriptstyle \downarrow }}}&\nearrow &{\overset {\square }{\color {White}\scriptstyle \downarrow }}D\color {White}^{\square }\end{matrix}}$

특히, 만약 $A^{\|}\cong B^{\|}\cong 0$이라면, 교외 사상 $A_{\square }\to {}^{\square }B$는 동형 사상이다.

n×n 정리

아벨 범주에서, 다음과 같은 이중 사슬 복합체가 주어졌다고 하자.

${\begin{matrix}&&0&&0&&0\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\0&\to &A&\to &B&\to &C\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\0&\to &D&\to &E&\to &F\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\0&\to &G&\to &H&\to &I\\\end{matrix}}$

또한, 다음 조건들이 주어졌다고 하자.

• 첫째 · 둘째 · 셋째 열이 완전열이다.
• 둘째 · 셋째 행이 완전열이다.

3×3 정리에 따르면, 첫째 열 또한 완전열이다.^{:11, Exercise 1.3.2}

도롱뇽 완전열을 통한 증명:^{:Lemma 2.3}

$_{=}A\cong {}_{=}B\cong 0$임을 보이면 족하다.

가정에 따라서, 모든 열이 완전열이므로

$X^{\|}\cong 0\qquad (X\in \{A,B,D,E\})$

이다. 또한, 둘째 · 셋째 행이 완전열이므로

$_{=}X\cong 0\qquad (X\in \{D,E,G,H\})$

이다. 도롱뇽 정리에 따라서, 다음과 같은 교외 사상들은 모두 동형 사상이다.

${\begin{matrix}&&0_{\square }&&0_{\square }\\&&\color {Red}\swarrow &&\color {Green}\swarrow &&\\0_{\square }&&^{\square }A_{\square }&&^{\square }B_{\square }\\&&\color {Blue}\swarrow &&\color {Red}\swarrow &&\\0_{\square }&\color {Blue}\nearrow &^{\square }D_{\square }&\color {Red}\nearrow &^{\square }E_{\square }\\&&\color {Red}\swarrow &&&&\\0_{\square }&\color {Red}\nearrow &^{\square }G_{\square }\\\end{matrix}}$

물론, $0_{\square }\cong 0$이므로, 이를 따라서 교외 사상의 지그재그로 연결된 $^{\square }D,A_{\square },{}^{\square }G,D_{\square },\dotsc$ 등이 모두 0임을 알 수 있다.

이제, $^{\square }A\cong A_{\square }\cong {}^{\square }B\cong B_{\square }\cong 0$이므로, 다음과 같은 도롱뇽 완전열으로부터 $_{=}A\cong {}_{=}B\cong 0$임을 알 수 있다.

${\begin{matrix}{\color {White}_{\square }}0_{\square }\\\swarrow \\{\underset {=}{\overset {\square }{\scriptstyle \downarrow }}}{\underset {\to }{A}}_{\square }&\nearrow &{\overset {\square }{\underset {=}{\scriptstyle \downarrow }}}{\underset {\to }{B}}_{\square }\\&&\swarrow \\&&^{\square }E\color {White}_{\square }\end{matrix}}$

뱀 완전열을 통한 증명:

처음 두 행에 대하여 뱀 정리를 적용한다. 모든 열이 짧은 완전열이므로, 핵들은 모두 0이 된다.

보다 일반적으로, $n\times n$ 정리에 따르면, 임의의 자연수 $n$에 대하여, $n\times n$개의 대상을 갖는 이중 사슬 복합체

${\begin{matrix}&&0&&0\\&&\downarrow &&\downarrow \\0&\to &A_{n-1,n-1}&\to \dotsb \to &A_{0,n-1}\\&&\downarrow &&\downarrow \\&&\vdots &\ddots &\vdots \\&&\downarrow &&\downarrow \\0&\to &A_{n-1,n-1}&\to \dotsb \to &A_{0,0}\\\end{matrix}}$

가 주어졌을 때, 만약

• 모든 열이 완전열이며,
• 첫째 행을 제외한 나머지 행들이 완전열이라면,

첫째 행 또한 완전열이다.

증명:

그 증명은 3×3의 경우와 동일하다. 즉, 대략

• 교외 사상들의 지그재그를 통해, $_{\square }(-)\cong (-)^{\square }\cong 0$임을 보인다.
• 첫째 행의 각 수평 경계 사상에 대한 도롱뇽 완전열을 사용하여, 그 수평 호몰로지가 0임을 보인다.

(물론, 0×0 및 1×1 및 2×2인 경우는 자명하게 참이다.)

예

사슬 복합체의 텐서곱

가환환 $K$ 위의 결합 대수 $A$ 위의 $(A,A)$-쌍가군들의 아벨 범주 $\operatorname {Ch} _{\bullet }(_{A}\operatorname {Mod} _{A})$ 를 생각하자. 이 속에서, 두 사슬 복합체

$C_{\bullet },D_{\bullet }\in \operatorname {Ch} _{\bullet }(_{A}\operatorname {Mod} _{A})$

가 주어졌다고 하자.

그렇다면, 각 성분별 텐서곱을 통해, 다음과 같은 이중 사슬 복합체 $E_{\bullet ,\bullet }$를 정의할 수 있다.

$E_{m,n}=C_{m}\otimes _{A}D_{n}$

$\partial _{m,n}^{\operatorname {h} ,E}\colon \partial _{m,n}^{\operatorname {h} ,E}\to \partial _{m-1,n}^{\operatorname {h} ,E}$

$\partial _{m,n}^{\operatorname {h} ,E}=\partial _{m}^{C}\otimes \operatorname {id} _{D_{n}}$

$\partial _{m,n}^{\operatorname {v} ,E}\colon \partial _{m,n}^{\operatorname {h} ,E}\to \partial _{m,n-1}^{\operatorname {h} ,E}$

$\partial _{m,n}^{\operatorname {v} ,E}=\operatorname {id} _{C_{m}}\otimes \partial _{n}^{D}$

이 이중 사슬 복합체의 전체 사슬 복합체는 두 사슬 복합체의 텐서곱

$(C\otimes D)_{\bullet }=\operatorname {Tot} _{\bullet }(E)=\bigoplus _{p+q=\bullet }C_{p}\otimes _{A}D_{q}$

과 같다.

순환 호몰로지

 이 부분의 본문은 순환 호몰로지입니다.

순환 호몰로지는 어떤 특별한 이중 복합체의 전체 호몰로지로서 정의된다.

역사

책을 장식하는 도롱뇽 그림 (1920년대, 미국)

3×3 정리는 9개의 대상이 3×3 행렬로 배열되어 있으므로 이러한 이름이 붙었다. 데이비드 북스바움은 1955년 논문에서 아벨 범주의 개념을 도입하였는데, 이 논문에서 이미 3×3 정리가 등장한다.^{:Lemma 5.5}

1971년에 칼 에릭 린더홀름(영어: Carl Eric Linderholm)은 농으로 3×3 정리의 (올바른) 증명을 다음과 같이 묘사하였다.

“	틱택토 판을 그린다. 판을 ⭕/❌로 채우지 말고, 대신 굽은 화살표를 사용한다. 선을 추가로 그려서 3×3 판을 4×4 판으로 확장한다. 판 위에 손을 가리키며 복잡하게 흔들어 댄다. ⭕를 몇 개 그린다 (하지만 네모 속에 그리지 말고, 대신 가로·세로 선 끝에 그린다). 얼굴을 찡그린다. 이제 당신은 다음 정리들을 증명하였다. (a) 9항 정리 (b) 16항 정리 (c) 25항 정리 […] Draw a noughts-and-crosses board, sometimes also referred to as a tic-tac-toe board. Do not fill it in with noughts and crosses, sometimes also called exes and ohs. Instead, use curved arrows. By drawing more lines, make it a board for four-by-four (instead of three-by-three) noughts and crosses. Wave your hands about in complicated patterns over this board. Make some noughts, but not in the squares; put them at both ends of the horizontal and vertical lines. Make faces. You have now proved: (a) the Nine Lemma (b) the Sixteen Lemma (c) the Twenty-five Lemma […]	”
	— :201

도롱뇽 정리 및 “교내 사상” · “교외 사상”이라는 용어는 조지 마크 버그먼(영어: George Mark Bergman, 1943~)이 1970년대에 도입하였다. “도롱뇽 정리”라는 이름은 이에 등장하는, S자 또는 갈지자 (之) 모양의 사상들의 열을 몸을 굽히며 움직이는 도룡뇽에 비유한 것이다. “교내 사상” · “교외 사상”이라는 용어는 이는 같은 기호 $A$의 각 첨자 $_{=}^{\square }A_{\square }^{\|}$를 “학교”로 여길 경우, 교내 사상

${\overset {\square }{\underset {=}{\scriptstyle \downarrow }}}{\overset {\to }{\underset {\to }{A}}}{\overset {\|}{\underset {\square }{\scriptstyle \downarrow }}}$

은 같은 “학교” 안의 대상들을 잇지만, 교외 사상

$A_{\square }\nearrow {}^{\square }B$

은 서로 다른 “학교”에 속하는 대상들을 잇기 때문이다.

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Nine lemma”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Double complex”. 《nLab》 (영어). 
• “Total complex”. 《nLab》 (영어). 
• “Diagram chasing”. 《nLab》 (영어). 
• “Salamander lemma”. 《nLab》 (영어). 
• “3x3 lemma”. 《nLab》 (영어). 
• Geraschenko, Anton (2007년 11월 13일). “The salamander lemma”. 《Secret Blogging Seminar》 (영어).