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정의편집

  가 주어졌다고 하자. 그렇다면,  -쌍가군(영어:  -bimodule)  은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

  • 아벨 군  
  •   위의  -왼쪽 가군 구조  
  •   위의  -오른쪽 가군 구조  

이는 다음과 같은 호환 조건을 만족시켜야 한다.

  • 모든  ,  ,  에 대하여,  

보다 일반적으로, 가환환   -단위 결합 대수   가 주어졌다고 하자. 그렇다면,  -쌍가군  은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

  • 아벨 군  
  •   위의  -왼쪽 가군 구조  
  •   위의  -오른쪽 가군 구조  

이는 다음과 같은 호환 조건을 만족시켜야 한다.

  • 모든  ,  ,  에 대하여,  
  • 모든  에 대하여,  

 -쌍가군은  일 때  -쌍가군의 개념과 같다.

 -쌍가군  ,   사이의 쌍가군 준동형(영어: bimodule homomorphism)  은 다음 조건들을 만족시키는 아벨 군 준동형이다.

  •   -왼쪽 가군가군 준동형을 이룬다. 즉,  이다.
  •   -오른쪽 가군가군 준동형을 이룬다. 즉,  이다.

성질편집

가군과의 관계편집

다음 네 개념들이 서로 동치이다.

  •  -쌍가군
  •  -쌍가군
  •  -왼쪽 가군
  •  -오른쪽 가군

(여기서  반대환을 뜻한다.)

다음 세 개념들이 서로 동치이다.

  • 아벨 군
  •  -가군
  •  -쌍가군

 에 대하여, 다음 네 개념들이 서로 동치이다.

  •  -왼쪽 가군
  •  -오른쪽 가군
  •  -쌍가군
  •  -쌍가군

 에 대하여, 다음 네 개념들이 서로 동치이다.

  •  -오른쪽 가군
  •  -왼쪽 가군
  •  -쌍가군
  •  -쌍가군

가환환  에 대하여, 다음 네 개념들이 서로 동치이다.

  •  -가군
  •  -쌍가군
  •  -쌍가군
  •  -쌍가군

또한, 위 개념들에 대한 준동형들 또한 서로 동치이다. 예를 들어,  -쌍가군 준동형은  -왼쪽 가군가군 준동형과 같은 개념이다.

즉, 쌍가군의 개념은 가군의 개념의 특수한 경우로 생각할 수 있으며, 반대로 가군의 개념을 쌍가군의 개념의 특수한 경우로 생각할 수 있다.

가환환  에 대하여, 모든  -가군 (즉,  -쌍가군)은 망각을 통하여  -쌍가군을 이루지만, 일반적으로  -가군이 아닌  -쌍가군이 존재한다.

텐서곱 가군과 준동형 가군편집

 -쌍가군   -쌍가군  이 주어졌을 때, 텐서곱

 

은 자연스럽게  -쌍가군을 이룬다. 이는 쌍가군 범주의 가법 함자

 
 

를 정의한다.

또한,  -쌍가군   -쌍가군  가 주어졌을 때, 왼쪽 가군 준동형군

 

 

를 통해  -쌍가군을 이룬다. 이는 쌍가군 범주의 가법 함자

 
 

를 정의한다. 반대로, 오른쪽 가군 준동형을 사용한다면  -쌍가군   -쌍가군  가 주어졌을 때, 준동형군

 

 

를 통해  쌍가군을 이루며, 쌍가군 범주의 가법 함자

 
 

를 정의한다.

이는 다음과 같이 수반 함자를 이룬다.

 
 

특히,   또는   또는  를 놓으면 각종 가군 범주 위의 다음과 같은 가법 함자들을 얻는다.

 
 
 
 
 
 
 
 

쌍가군의 2-범주편집

임의의 가환환   -단위 결합 대수  ,  에 대하여,  -쌍가군을 대상으로 하고,  -쌍가군 준동형을 사상으로 하는 범주  가 존재한다.  인 경우 이는 단순히  로 표기한다.

보다 일반적으로, 가환환  에 대하여 다음과 같은 2-범주  가 존재한다.

  •  의 대상은  -단위 결합 대수이다. (즉,  의 대상과 같다.)
  •  에서, 단위 결합 대수  ,   사이의 1-사상은  -쌍가군  이다.  정의역 , 공역 이다.
    • 두 쌍가군  ,  의 합성은 쌍가군의 텐서곱  이다.
    •   위의 항등 사상 이다.
  • 같은 정의역공역을 갖는 두 1-사상  ,   사이의 2-사상은  -쌍가군 준동형이다. 즉, 범주로서  이다.

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아이디얼편집

 왼쪽 아이디얼 -왼쪽 가군을 이루며, 오른쪽 아이디얼 -오른쪽 가군을 이룬다.  양쪽 아이디얼   -쌍가군을 이룬다.

특히,   전체는  의 양쪽 아이디얼이며, 따라서  -쌍가군을 이룬다.

보다 일반적으로, 가환환   위의 단위 결합 대수  가 주어졌을 때,  -가군을 이루는  -양쪽 아이디얼   -쌍가군을 이룬다. 특히,   전체는  -쌍가군을 이룬다.

부분환편집

 -쌍가군   의 부분환   의 부분환  가 주어졌을 때,  은 망각을 통해 자연스럽게  -쌍가군을 이룬다.

특히, 환  의 부분환  가 주어졌을 때, 쌍가군  에 망각을 가하여 쌍가군    를 정의할 수 있다.

가군의 자기 사상편집

  위의 오른쪽 가군  가 주어졌다고 하자. 그렇다면,  가법 범주이므로  자기 사상 집합  을 이룬다. 이 자기 사상환 의 왼쪽에 자연스럽게 작용하며, 따라서   -쌍가군을 이룬다.

마찬가지로,   위의 왼쪽 가군  은 자연스럽게  -쌍가군을 이룬다.

이 구성은 모리타 동치의 정의에 등장한다.

행렬 쌍가군편집

  위의   행렬로 구성된 아벨 군  을 생각하자. 만약  이라면 (즉, 정사각 행렬이라면)  을 이룬다.

행렬의 곱셈은 자연스러운  -쌍선형 함수   를 이룬다. 이에 따라,  는 자연스럽게  -쌍가군을 이룬다.

물론,  는 (대각 행렬로서)  부분환을 이룬다. 이에 따라,   -쌍가군을 이룬다. 이 경우,  는 단순히 자유 가군  으로 생각할 수 있다.

응용편집

쌍가군에 대하여, 호흐실트 호몰로지호흐실트 코호몰로지를 정의할 수 있다.

쌍가군의 개념은 모리타 동치모리타 쌍대성을 정의할 때 쓰인다.


외부 링크편집