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라그랑주 정리 (군론)

군론에서, 라그랑주 정리(영어: Lagrange’s theorem)는 유한군부분군크기가 원래 군의 크기의 약수라는 정리다.[1]:100, §II.10, Theorem 10.10[2]:12, §I.3, Proposition 2.2[3]:30, §2.3, Theorem 2.27

정의편집

임의의  부분군  가 주어졌다고 하자. 라그랑주 정리에 따르면, 다음이 성립한다.

 

여기서   왼쪽 잉여류들의 집합의 크기이며 (이는 오른쪽 잉여류들의 집합의 크기와 같다),    사이의 곱셈은 기수의 곱셈이다. 특히,  유한군일 경우,   약수이다.

보다 일반적으로, 군  의 부분군  과 이에 대한 부분군  에 대하여, 다음이 성립한다.

 

라그랑주 정리는 ( 가 무한군일 수 있는 경우) 선택 공리동치이다. 물론, 유한군의 경우 이는 선택 공리 없이 증명할 수 있다.

증명편집

우선, 임의의  에 대하여,  이다. 이는 함수

 
 

전단사 함수이기 때문이다.

또한  의 왼쪽 잉여류들의 집합   분할을 이룬다. 이는 다음과 같이 증명할 수 있다. 임의의  에 대하여, 만약  이라면,   가 존재한다.

 

 를 취하면

 

이다. 이에 따라,    속 서로 다른 왼쪽 잉여류들의 분리 합집합이다.

선택 공리에 의하여, 임의의 왼쪽 잉여류  에 대하여,  인 군의 원소  를 취하는 함수  가 존재하며, 이 경우 임의의  에 대하여  이다. ( 가 유한군일 경우 이러한 함수의 존재는 수학적 귀납법에 의하여 증명할 수 있으므로 선택 공리가 필요하지 않다.) 따라서,

 

가 성립한다.

만약  가 유한군이라면, 위 등식의  ,  ,  는 모두 양의 정수이므로,   의 약수가 된다.

따름정리편집

유한군  의 임의의 원소  가 주어졌다고 하자. 그렇다면  위수   의 약수이다. 이는  순환 부분군  의 크기이기 때문이다. 특히, 항상  가 성립한다. 여기서   항등원이다. 이를 이용하면 페르마의 소정리오일러의 정리를 쉽게 도출해낼 수 있는데, 임의의 양의 정수  에 대하여,  서로소인 정수의 합동류들은 곱셈에 대하여 군이 되고, 이 군의 크기가 오일러 피 함수  에 대하여  이 되기 때문이다.

소수 크기의 군은 순환군이자 단순군이다. 즉, 유한군  에 대하여,  가 소수라고 하자. 그렇다면   를 취할 수 있으며,  이므로  이거나  이다. 그러나  이므로  이므로  이며, 즉   로 생성된 순환군이다. 마찬가지로, 임의의 부분군  에 대하여,  이거나  이며, 만약  이라면  , 만약  라면  이다. 즉,  는 자명 부분군이나 자기 자신이 아닌 부분군을 갖지 않으며, 특히  는 단순군이다.

역의 반례편집

유한군  와 양의 정수  가 주어졌고,   의 약수라고 할 때, 크기가   의 부분군이 존재할 필요는 없다. 예를 들어, 4차 교대군  의 크기는 12이며, 6은 12의 약수이지만,  는 크기가 6인 부분군을 갖지 않는다.[1]:145, §III.15, Example 15.6 그러나, 쉴로브 정리에 따르면,  가 소수의 거듭제곱일 경우 크기가   의 부분군은 항상 존재한다.

역사편집

라그랑주는 이 정리를 1771년 논문인 《방정식의 대수적 해법에 관한 고찰(Réflexions sur la résolution algébrique des équations)》에서 언급하였으나 증명은 하지 않았다.[4] 이 정리가 최초로 완전하게 증명된 것은 이탈리아 수학자 피에트로 아바티 마레스코티(Pietro Abbati Marescotti)의 1803년 출판된 글에서였다.[5] 이 정리는 이후에 코시의 정리가 탄생하는 데 영감을 주기도 하였다.

각주편집

  1. Fraleigh, John B. (2003). 《A First Course in Abstract Algebra》 (영어). Katz, Victor 역사적 주해 7판. Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-76390-4. 
  2. Lang, Serge (2002). 《Algebra》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 개정 3판. New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-1-4613-0041-0. ISBN 978-1-4612-6551-1. 
  3. Rose, Harvey E. (2009). 《A Course on Finite Groups》. Universitext (영어). London: Springer. doi:10.1007/978-1-84882-889-6. ISBN 978-1-84882-888-9. ISSN 0172-5939. 
  4. agrange, J. L. (1771) "Réflexions sur la résolution algébrique des équations" (part II), Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Berlin, pages 138-254
  5. P. Abbati (1803) "Lettera di Pietro Abbati Modenese al socio Paolo Ruffini da questo presentata il di 16. Décembre 1802", Memorie di Matematica e di Fisica della Società Italiana delle Scienze, vol. 10 (part 2), pages 385-409.

외부 링크편집