코시 정리 (군론)

군론에서, 코시 정리(영어: Cauchy’s theorem)는 유한군크기소인수가 항상 어떤 원소의 위수라는 정리이다.[1] 제1 쉴로브 정리의 특수한 경우이다.[1]:324

정의편집

코시 정리에 따르면, 만약 소수  유한군  의 크기  의 소인수라면,  위수 인 원소를 갖는다.[1]:322

증명 1:

우선  유한 아벨 군인 경우를 증명하자. 귀류법을 사용하여   차 원소를 가지지 않는다고 가정하자. 편의상  가 최소 크기의 반례라고 하자. (즉, 크기가  를 소인수로 하는,  보다 작은 크기의 모든 유한 아벨 군 차 원소를 갖는다.) 그렇다면  순환군일 수 없다. (만약   로 생성된 순환군이라면,    차 원소이며, 이는 모순이다.) 임의의  를 취하자.   로 생성된 순환군이라고 하자. 그렇다면  이며,   위수  의 약수가 아니다. (만약  라면,   차 원소를 가지므로 모순이다.) 따라서  이며, 또한  이므로, 몫군   차 원소   ( )를 가진다. 즉,  이며  이다. 이제   차 원소임을 보이자. 우선

 

이므로  의 위수는 1 또는  이다. 만약  의 위수가 1이라면, 즉  이라면,   서로소이므로  인 정수  가 존재한다. 따라서

 

이며, 이는 모순이다. 즉,  의 위수는  이다.

이제  가 일반적인 유한군인 경우를 증명하자. 마찬가지로,  가 최소 크기의 반례라고 가정하자. (즉, 크기가  를 소인수로 하는,  보다 작은 크기의 모든 유한군 차 원소를 갖는다.)  중심   아벨 부분군을 이루므로, 위 증명에 따라  이며, 따라서  이다. 켤레류 방정식

 

을 생각하자. 여기서  는 크기가 1이 아닌 켤레류들의 대표 원소들의 집합이며,   에 대한  중심화 부분군이다.  ,  이므로,   가 존재한다.  이므로,   차 원소를 가지며, 이는 모순이다.

증명 2:

 대칭군   속의 순환  으로 생성된, 크기  순환군은 집합

 

위에 다음과 같이 자연스럽게 작용한다.

 

궤도-안정자군 정리에 따라 이 군의 작용의 각 궤도의 크기는 1 또는  이다. 크기 1의 궤도의 수는  인 원소  의 수와 같다. 즉,  차 원소의 수와 1차 원소(항등원  )의 수의 합이며, 특히 이는 양의 정수이다.  의 각 원소는 그 앞의  개의 성분으로 유일하게 결정되므로,  이며, 이는  의 배수이다. 또한, 궤도들은  분할하므로, 크기  의 궤도들의 수의  배와 크기 1의 궤도들의 수의 합은  이다. 따라서 크기 1의 궤도의 수 역시  의 배수이며, 특히   이상이다. 즉, 적어도  개의  차 원소가 존재한다.

역사편집

프랑스수학자 오귀스탱 루이 코시의 이름이 붙어 있다.

같이 보기편집

각주편집

  1. Fraleigh, John B.; Katz, Victor (2003). 《A First Course In Abstract Algebra》. Addison-Wesley. 

외부 링크편집