측도론에서, 라돈 측도(Radon測度, 영어: Radon measure)는 위상 공간의 구조와 특별히 잘 호환되는, 보렐 시그마 대수 위에 정의되는 측도이다. 국소 콤팩트 공간 위의 라돈 측도는 함수 공간 위의 범함수로 나타낼 수 있다.

정의편집

정칙 측도편집

하우스도르프 공간   위의 시그마 대수   위의 측도  가 주어졌다고 하자.  콤팩트 집합들의 집합족을  로, 열린집합들의 집합족을  로 표기하자.

가측 집합  가 다음 조건을 만족시킨다면,  -내부 정칙 가측 집합(영어:  -inner regular measurable set)이라고 한다.

 

가측 집합  가 다음 조건을 만족시킨다면,  -외부 정칙 가측 집합(영어:  -outer regular measurable set)이라고 한다.

 

만약 모든 가측 집합 -내부 정칙 가측 집합이라면,  내부 정칙 측도(영어: inner-regular measure)라고 한다. 만약 모든 가측 집합 -외부 정칙 가측 집합이라면,  외부 정칙 측도(영어: outer-regular measure)라고 한다.

라돈 측도편집

 하우스도르프 공간이라고 하자. 보렐 시그마 대수   위의 측도  가 다음을 만족시키면 라돈 측도라고 한다.

  • (내부 정칙성) 내부 정칙 측도이다. 즉, 모든 보렐 집합 -내부 정칙 집합이다.
  • (국소 유한성) 모든 점  에 대하여,  열린 근방  가 존재한다.

성질편집

 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이라고 하자. 임의의 콤팩트 집합  에 대하여,  를 지지집합으로 하는 실수값 연속 함수들의 집합  은 노름

 

에 따라서 바나흐 공간을 이룬다.   위의, 콤팩트 지지집합을 갖는 실수값 연속 함수의 집합  을 생각하자. 그렇다면

 

이므로,  국소 볼록 공간의 구조를 가진다.

어떤 실수값 함수 공간  위의 범함수  에 대하여, 만약   에 대하여  이라면,  음이 아닌 범함수(영어: nonnegative functional)라고 하자. 그렇다면   위의 라돈 측도들의 집합과   위의 음이 아닌 연속 범함수들의 집합 사이에는 자연스러운 일대일 대응이 존재한다. 구체적으로, 라돈 측도  에 대하여,

 

는 음이 아닌 범함수이다.

편집

보렐 시그마 대수에 국한시킨 르베그 측도는 유클리드 공간 위의 라돈 측도이다.

임의의 하우스도르프 공간   및 점  에 대하여,  의 보렐 시그마 대수 위에 디랙 측도  를 다음과 같이 정의하자.

 

그렇다면 이는 라돈 측도이다.

유클리드 공간 위의, 보렐 시그마 대수에 국한시킨 셈측도는 라돈 측도가 아니다.

역사편집

요한 라돈의 이름을 땄다.

외부 링크편집