라돈 측도
측도론에서 라돈 측도(Radon測度, 영어: Radon measure)는 위상 공간의 구조와 특별히 잘 호환되는, 보렐 시그마 대수 위에 정의되는 측도이다. 국소 콤팩트 공간 위의 라돈 측도는 함수 공간 위의 범함수로 나타낼 수 있다.
정의 편집
정칙 측도 편집
하우스도르프 공간 위의 시그마 대수 위의 측도 가 주어졌다고 하자. 의 콤팩트 집합들의 집합족을 로, 열린집합들의 집합족을 로 표기하자.
가측 집합 가 다음 조건을 만족시킨다면, -내부 정칙 가측 집합(영어: -inner regular measurable set)이라고 한다.
가측 집합 가 다음 조건을 만족시킨다면, -외부 정칙 가측 집합(영어: -outer regular measurable set)이라고 한다.
만약 모든 가측 집합이 -내부 정칙 가측 집합이라면, 를 내부 정칙 측도(영어: inner-regular measure)라고 한다. 만약 모든 가측 집합이 -외부 정칙 가측 집합이라면, 를 외부 정칙 측도(영어: outer-regular measure)라고 한다.
라돈 측도 편집
성질 편집
가 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이라고 하자. 임의의 콤팩트 집합 에 대하여, 를 지지집합으로 하는 실수값 연속 함수들의 집합 은 노름
에 따라서 바나흐 공간을 이룬다. 위의, 콤팩트 지지집합을 갖는 실수값 연속 함수의 집합 을 생각하자. 그렇다면
이므로, 는 국소 볼록 공간의 구조를 가진다.
어떤 실수값 함수 공간 위의 범함수 에 대하여, 만약 인 에 대하여 이라면, 를 음이 아닌 범함수(영어: nonnegative functional)라고 하자. 그렇다면 위의 라돈 측도들의 집합과 위의 음이 아닌 연속 범함수들의 집합 사이에는 자연스러운 일대일 대응이 존재한다. 구체적으로, 라돈 측도 에 대하여,
는 음이 아닌 범함수이다.
예 편집
보렐 시그마 대수에 국한시킨 르베그 측도는 유클리드 공간 위의 라돈 측도이다.
임의의 하우스도르프 공간 및 점 에 대하여, 의 보렐 시그마 대수 위에 디랙 측도 를 다음과 같이 정의하자.
그렇다면 이는 라돈 측도이다.
역사 편집
요한 라돈의 이름을 땄다.
외부 링크 편집
- “Radon measure”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Regular Borel measure”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.