국소 콤팩트 공간
일반위상수학에서 국소 콤팩트 공간(局所compact空間, 영어: locally compact space)은 국소적으로 콤팩트한 구조를 갖는 위상 공간이다.
정의
편집임의의 위상 공간 에 대하여, 만약 다음 조건이 성립한다면, 를 국소 콤팩트 공간이라고 한다.[1]:182, §29
하우스도르프 분리 공리를 가정한다면, 국소 콤팩트 공간의 개념은 다음과 같이 다양하게 정의할 수 있다. 구체적으로, 하우스도르프 공간 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.
- (1) 국소 콤팩트 공간이다.
- (2) 의 모든 점은 닫힌 콤팩트 근방을 갖는다.
- (2’) 의 모든 점은 상대 콤팩트 근방을 갖는다.
- (2’’) 의 모든 점은 상대 콤팩트 국소 기저를 갖는다.
- (3) 의 모든 점은 콤팩트 국소 기저를 갖는다.
- (4) 의 모든 점은 닫힌 콤팩트 국소 기저를 갖는다.
- (5) 는 어떤 콤팩트 하우스도르프 공간의 열린집합과 위상동형이다.[1]:185, Corollary 29.4
- (5’) 의 알렉산드로프 콤팩트화가 하우스도르프 공간이다.[1]:183
그러나 하우스도르프 공간이 아닌 위상 공간의 경우 위 조건들이 서로 동치이지 않다. 마지막 두 조건은 스스로 하우스도르프 조건을 함의하며, 조건 (4)는 (완비) 정칙 조건을 함의한다. 위 조건들의 일반적인 함의 관계는 다음과 같다.
(2) ↔ (2’) ↔ (2’’) ↗ ↘ (5) ↔ (5’) → (4) (1) ↘ ↗ (3)
성질
편집함의 관계
편집콤팩트 공간은 (자명하게) 국소 콤팩트 공간이다.[1]:182
모든 국소 콤팩트 하우스도르프 공간은 베르 공간이며 (베르 범주 정리) 또한 티호노프 공간이다.
증명 (국소 콤팩트 하우스도르프 공간은 티호노프 공간):
연산에 대한 닫힘
편집국소 콤팩트 공간 와 위상 공간 가 주어졌다고 하자. 만약 전사 연속 열린 함수 가 존재한다면, 역시 국소 콤팩트 공간이다.
국소 콤팩트 하우스도르프 공간의 닫힌집합과 열린집합은 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이다.[1]:185, Corollary 29.3 반대로, 하우스도르프 공간의 국소 콤팩트 조밀 집합은 열린집합이다.[2]:149, Theorem 3.3.9[3]:392 즉, 하우스도르프 공간의 국소 콤팩트 집합은 항상 열린집합과 닫힌집합의 교집합이다.
증명:
위상 공간들의 집합 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
위상군
편집가 국소 콤팩트 하우스도르프 위상군이며, 가 그 부분군이라고 하자. 그렇다면, 잉여류 공간 는 국소 콤팩트 공간이다.[1]:186, Exercise 29.9
위상 벡터 공간
편집및 하우스도르프 -위상 벡터 공간 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.[4]:16–18, Theorems 1.21–23
예
편집(유한 차원) 유클리드 공간 은 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이다. 그러나 가산 무한 곱공간 는 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이 아니다.[1]:182–183, Example 29.2
p진수선 은 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이다.
모든 이산 공간은 자명하게 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이다. 모든 비이산 공간은 (하우스도르프 공간이 아닐 수 있지만) 항상 자명하게 국소 콤팩트 공간이다.
유리수 공간 는 하우스도르프 공간이지만 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이 아니다.[1]:186, Exercise 3.1
각주
편집- ↑ 가 나 다 라 마 바 사 아 Munkres, James R. (2000). 《Topology》 (영어) 2판. Prentice Hall. ISBN 978-0-13-181629-9. MR 0464128. Zbl 0951.54001.
- ↑ Engelking, Ryszard (1989). 《General topology》. Sigma Series in Pure Mathematics (영어) 6 개정 완결판. Berlin: Heldermann Verlag. ISBN 3-88538-006-4. MR 1039321. Zbl 0684.54001.
- ↑ Gompa, Raghu R. (1992). “What is "locally compact"?”. 《Pi Mu Epsilon Journal》 (영어) 9 (6): 390–392. ISSN 0031-952X. JSTOR 24340250.
- ↑ Rudin, Walter (1991). 《Functional analysis》. International Series in Pure and Applied Mathematics (영어) 2판. New York, NY: McGraw-Hill. MR 1157815. Zbl 0867.46001.
외부 링크
편집- “Locally compact space”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Locally compact”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- “Locally compact topological space”. 《nLab》 (영어).
- “Locally compact locale”. 《nLab》 (영어).