국소 콤팩트 공간

일반위상수학에서, 국소 콤팩트 공간(局所compact空間, 영어: locally compact space)은 국소적으로 콤팩트한 구조를 갖는 위상 공간이다.

정의

임의의 위상 공간 $X$에 대하여, 만약 다음 조건이 성립한다면, $X$를 국소 콤팩트 공간이라고 한다.^{:182, §29}

• $X$의 모든 점은 항상 콤팩트 근방을 갖는다.

하우스도르프 분리 공리를 가정한다면, 국소 콤팩트 공간의 개념은 다음과 같이 다양하게 정의할 수 있다. 구체적으로, 하우스도르프 공간 $X$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

• 국소 콤팩트 공간이다.
• $X$의 모든 점은 닫힌 콤팩트 근방을 갖는다.
• $X$의 모든 점은 상대 콤팩트 근방을 갖는다.
• $X$의 모든 점은 상대 콤팩트 국소 기저를 갖는다.
• $X$의 모든 점은 콤팩트 국소 기저를 갖는다.
• $X$는 어떤 콤팩트 하우스도르프 공간의 열린집합과 위상동형이다.^{:185, Corollary 29.4}
• $X$의 알렉산드로프 콤팩트화가 하우스도르프 공간이다.^:183

그러나 하우스도르프 공간이 아닌 위상 공간의 경우 위 조건들이 서로 동치이지 않다.

성질

함의 관계

콤팩트 공간은 (자명하게) 국소 콤팩트 공간이다.^:182

모든 국소 콤팩트 하우스도르프 공간은 베르 공간이며 (베르 범주 정리) 또한 티호노프 공간이다.

연산에 대한 닫힘

국소 콤팩트 공간 $X$와 위상 공간 $Y$가 주어졌다고 하자. 만약 전사 연속 열린 함수 $f\colon X\to Y$가 존재한다면, $Y$ 역시 국소 콤팩트 공간이다.

국소 콤팩트 하우스도르프 공간의 닫힌집합과 열린집합은 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이다.^{:185, Corollary 29.3}

위상군

$G$가 국소 콤팩트 하우스도르프 위상군이며, $H\subseteq G$가 그 부분군이라고 하자. 그렇다면, 잉여류 공간 $G/H$는 국소 콤팩트 공간이다.^{:186, Exercise 29.9}

예

(유한 차원) 유클리드 공간 $\mathbb {R} ^{n}$ 은 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이다. 그러나 가산 무한 곱공간 $\mathbb {R} ^{\aleph _{0}}$는 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이 아니다.^{:182–183, Example 29.2}

p진수선 $\mathbb {Q} _{p}$은 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이다.

모든 이산 공간은 자명하게 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이다. 모든 비이산 공간은 (하우스도르프 공간이 아닐 수 있지만) 항상 자명하게 국소 콤팩트 공간이다.

유리수 공간 $\mathbb {Q}$는 하우스도르프 공간이지만 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이 아니다.^{:186, Exercise 3.1}

외부 링크

• “Locally compact space”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Locally compact”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Locally compact topological space”. 《nLab》 (영어). 
• “Locally compact locale”. 《nLab》 (영어).