국소 콤팩트 공간

일반위상수학에서 국소 콤팩트 공간(局所compact空間, 영어: locally compact space)은 국소적으로 콤팩트한 구조를 갖는 위상 공간이다.

정의

임의의 위상 공간 $X$에 대하여, 만약 다음 조건이 성립한다면, $X$를 국소 콤팩트 공간이라고 한다.^{:182, §29}

• $X$의 모든 점은 항상 콤팩트 근방을 갖는다.

하우스도르프 분리 공리를 가정한다면, 국소 콤팩트 공간의 개념은 다음과 같이 다양하게 정의할 수 있다. 구체적으로, 하우스도르프 공간 $X$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

• (1) 국소 콤팩트 공간이다.
• (2) $X$의 모든 점은 닫힌 콤팩트 근방을 갖는다.
• (2’) $X$의 모든 점은 상대 콤팩트 근방을 갖는다.
• (2’’) $X$의 모든 점은 상대 콤팩트 국소 기저를 갖는다.
• (3) $X$의 모든 점은 콤팩트 국소 기저를 갖는다.
• (4) $X$의 모든 점은 닫힌 콤팩트 국소 기저를 갖는다.
• (5) $X$는 어떤 콤팩트 하우스도르프 공간의 열린집합과 위상동형이다.^{:185, Corollary 29.4}
• (5’) $X$의 알렉산드로프 콤팩트화가 하우스도르프 공간이다.^:183

그러나 하우스도르프 공간이 아닌 위상 공간의 경우 위 조건들이 서로 동치이지 않다. 마지막 두 조건은 스스로 하우스도르프 조건을 함의하며, 조건 (4)는 (완비) 정칙 조건을 함의한다. 위 조건들의 일반적인 함의 관계는 다음과 같다.

		(2) ↔ (2’) ↔ (2’’)
	↗		↘
(5) ↔ (5’) → (4)				(1)
	↘		↗
		(3)

성질

함의 관계

콤팩트 공간은 (자명하게) 국소 콤팩트 공간이다.^:182

모든 국소 콤팩트 하우스도르프 공간은 베르 공간이며 (베르 범주 정리) 또한 티호노프 공간이다.

증명 (국소 콤팩트 하우스도르프 공간은 티호노프 공간):

$X$가 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이며, $F\subseteq X$가 닫힌집합이며, $x\in X\setminus F$라고 하자. $x$의 상대 콤팩트 근방 $U$를 고르자. 그렇다면 $\operatorname {cl} U$는 콤팩트 집합이므로, 티호노프 공간이다. 따라서 $x$와

$F_{0}=(\operatorname {cl} U\setminus U)\cup (\operatorname {cl} U\cap F)$

를 분리하는 연속 함수

$f_{0}\colon \operatorname {cl} U\to [0,1]$

$f_{0}(x)=0$

$f_{0}|_{F_{0}}=1$

가 존재한다. $\operatorname {cl} U$와 $X\setminus U$가 $X$의 유한 닫힌 덮개를 이루며, 그 교집합은 $F_{0}$에 포함되므로, 함수

$f\colon X\to [0,1]$

$f|_{\operatorname {cl} U}=f_{0}$

$f|_{X\setminus U}=1$

는 잘 정의되며, 연속 함수이다. 또한 $f$는

$f(x)=0$

$f|_{F}=1$

을 만족한다.

연산에 대한 닫힘

국소 콤팩트 공간 $X$와 위상 공간 $Y$가 주어졌다고 하자. 만약 전사 연속 열린 함수 $f\colon X\to Y$가 존재한다면, $Y$ 역시 국소 콤팩트 공간이다.

국소 콤팩트 하우스도르프 공간의 닫힌집합과 열린집합은 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이다.^{:185, Corollary 29.3} 위상 공간들의 집합 $(X_{i})_{i\in I}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 곱공간 $\textstyle \prod _{i\in I}X_{i}$은 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이다.
• 모든 $X_{i}$는 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이며, 유한 개를 제외하면 콤팩트 공간이다.

위상군

$G$가 국소 콤팩트 하우스도르프 위상군이며, $H\subseteq G$가 그 부분군이라고 하자. 그렇다면, 잉여류 공간 $G/H$는 국소 콤팩트 공간이다.^{:186, Exercise 29.9}

예

(유한 차원) 유클리드 공간 $\mathbb {R} ^{n}$ 은 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이다. 그러나 가산 무한 곱공간 $\mathbb {R} ^{\aleph _{0}}$는 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이 아니다.^{:182–183, Example 29.2}

p진수선 $\mathbb {Q} _{p}$은 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이다.

모든 이산 공간은 자명하게 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이다. 모든 비이산 공간은 (하우스도르프 공간이 아닐 수 있지만) 항상 자명하게 국소 콤팩트 공간이다.

유리수 공간 $\mathbb {Q}$는 하우스도르프 공간이지만 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이 아니다.^{:186, Exercise 3.1}

외부 링크

• “Locally compact space”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Locally compact”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Locally compact topological space”. 《nLab》 (영어). 
• “Locally compact locale”. 《nLab》 (영어).