루진의 정리

해석학에서 루진의 정리(Лузин의定理, 영어: Luzin's theorem)는 가측 함수가 거의 어디서나 연속 함수라는 정리이다.

정의

라돈 측도 $\mu$를 갖춘 하우스도르프 공간 $X$에서 (보렐 시그마 대수를 갖춘) 제2 가산 공간 $Y$로 가는 가측 함수

$f\colon X\to Y$

에 대하여, 만약 $\mu (X)<\infty$라면, 루진의 정리에 따르면 임의의 양의 실수 $\epsilon >0$에 대하여 다음 두 조건들을 만족시키는 닫힌 집합 $X_{\epsilon }\subset X$가 존재한다.

• $\mu (X\setminus X_{\epsilon })<\epsilon$
• $f|_{X_{\epsilon }}\colon X_{\epsilon }\to Y$는 연속 함수이다.

만약 $X$가 추가로 국소 콤팩트 공간이라면, 임의의 양의 실수 $\epsilon >0$에 대하여 다음 두 조건들을 만족시키는 콤팩트 집합 $X_{\epsilon }$ 및 연속 함수 $f_{\epsilon }\colon X\to Y$가 존재한다.

• $\mu (X\setminus X_{\epsilon })<\epsilon$
• $f|_{X_{\epsilon }}=f_{\epsilon }|_{X_{\epsilon }}$이다.

실수 구간의 경우, 다음과 같은 형태의 루진 정리가 성립한다. 임의의 함수 $f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $f$는 가측 함수이다. 여기서 정의역은 르베그 측도, 공역은 보렐 시그마 대수를 갖춘다.
• 임의의 양의 실수 $\epsilon >0$에 대하여, $\mu (\{x\in [a,b]\colon f(x)\neq f_{\epsilon }(x)\})<\epsilon$인 연속 함수 $f_{\epsilon }\colon [a,b]\to \mathbb {R}$가 존재한다.

역사

니콜라이 루진이 증명하였다.

참고 문헌

• 김성기, 계승혁, 《실해석》, 서울대학교출판부, 2002.

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Lusin's theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Luzin criterion”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 

같이 보기

• 예고로프 정리