르레-이르슈 정리

대수적 위상수학에서 르레-이르슈 정리(Leray-Hirsch定理, 영어: Leray–Hirsch theorem)는 올다발의 전체 공간의 코호몰로지가 적절한 가정 아래 밑공간과 올공간의 코호몰로지의 텐서곱과 (비표준적으로) 동형이라는 정리이다. 퀴네트 정리를 곱공간에서 올다발로 일반화한 것이다.

정의

가환환 $R$와 올다발

$F{\stackrel {\iota }{\hookrightarrow }}E{\stackrel {\pi }{\twoheadrightarrow }}B$

이 주어졌다고 하자. 또한, 다음 조건들이 성립한다고 하자.

• 올 $F$의 코호몰로지 $\operatorname {H} ^{\bullet }(F;R)$는 각 차수에서 유한 생성 자유 $R$-가군이다.
• $\iota ^{*}\colon \operatorname {H} ^{\bullet }(E;R)\to \operatorname {H} ^{\bullet }(F;R)$는 전사 가군 준동형이다.

$\iota ^{*}$의 임의의 단면

$s\colon \operatorname {H} ^{\bullet }(F;R)\to \operatorname {H} ^{\bullet }(E;R)$

$\iota ^{*}\circ s=\operatorname {id} _{\operatorname {H} ^{\bullet }(F;R)}$

이 주어졌다고 하자.

그렇다면, 르레-이르슈 정리(영어: Leray–Hirsch theorem)에 따르면, 다음 사상은 $\operatorname {H} ^{\bullet }(B;R)$-가군의 동형을 이룬다. (그러나 이는 일반적으로 환의 동형을 이루지 않는다.)

$\operatorname {H} ^{\bullet }(F;R)\otimes _{R}\operatorname {H} ^{\bullet }(B;R)\to \operatorname {H} ^{\bullet }(E;R)$

$\alpha \otimes _{R}\beta \mapsto s(\alpha )\smile \pi ^{*}(\beta )$

증명

르레-이르슈 정리는 세르 스펙트럼 열을 사용하여 증명할 수 있다.

역사

프랑스의 장 르레와 벨기에의 기 이르슈(프랑스어: Guy Hirsch, 1915~1993)가 증명하였다.

외부 링크

• “Leray-Hirsch theorem for cohomology”. 《Topospaces》 (영어). 
• “Leray-Hirsch theorem for K-theory”. 《Topospaces》 (영어).